正の数と負の数のたし算ひき算かけ算わり算

約束

数字の前についている+,-の印を→符号

(+8)+(-5)や(+8)(-5)など、二つのかっこにはさまれた+や-を→演算記号

数字を→絶対値

とよぶ。

(+5)や(+11)など、かっこの中の符号が+の数は、小学校で習った5や11とおなじこと。

+は右に進む印、計算の始まりは0。

同符号どうし(+と+どうし、-と-どうし)のたし算

✅(+8)+(+5)=+13

0から右に8進んで、右に進む。

これは、小学校で習ったたし算と同じ。

✅(-8)+(-5)=-13

0から左へ8進んで、左に5進む。

このことからわかること↓↓

同じ符号のたし算(+と+どうし、-と-どうし)は、絶対値をたして、計算結果に2つの数字に共通している符号をつける。

違う符号どうし(+と-どうし、-と+どうし)のたし算

✅(+8)+(-5)=+3

0から右に8進んで、左に5進む。

✅(-8)+(+5)=-3

0から左に8進んで、右に5進む。

このことからわかること↓↓

違う符号どうしのたし算は、絶対値の大きい数字から小さいほうの数字をひいて、大きい絶対値のほうの符号をつける。

同符号どうし(+と+どうし、-と-どうし)のひき算

✅(+8)-(+5)=+3

好きではないです」は「きらいです」と同じこと。

「好き」の反対は「きらい」、「ないです」の反対は「です」。

だから、違う違うと2回繰り返せば、最初に言ったことと同じになる。-①

これがわかれば、+5をひくことは、-5をたすことだとわかる。

だから、(+8)-(+5)は(+8)+(-5)と考えることができるので、

0から右に8進んで、5左に進むことだから答えは3。

また、こう考えてのいいと思います。

例えば、6÷3は6×$ \frac{ 1 }{ 3 }$と考えることもできると小学校で習いました。

これは、「÷3」は「×逆数」と同じだということですが、

これも、「÷の反対は×」、「3の反対は逆数の$ \frac{ 1 }{ 3 }$」で、2つとも反対にしたら、もとの式と同じ答えが出ます。

✅(-8)-(-5)=-3

①のように考えると、

-5をひくことは、+5をたすことだとわかる。

だから、(-8)-(-5)は(-8)+(+5)と同じこと。

0から左に8進んで、右に5進むので答えは-3。

ことなる符号どうし(+と-どうし、-と+どうし)のひき算

✅(+8)-(-5)=+13

-5をひくことは、+5をたすことと同じことだから、

(+8)-(-5)=(+8)+(+5)

0から右へ8進んで、更に右に5進むので、答えは+13。

✅(-8)-(+5)=-13

+5をひくことは、-5をたすことと同じことだから、

(-8)-(+5)=(-8)+(-5)

0から左へ8進んで、更に左に5進むので、答えは-13

(+1)+(+2)+(-3)-(+4)-(-5)=(+1)+(+2)+(-3)+(-4)+(+5)=1+2-3-4+5=+1

同じ符号どうしのかけ算と割り算は、絶対値の計算結果の前に+をつける。

右方向の速さを+、時間が進むこと(~秒後)を+で表すことにすると、左方向の速さは-、時間が戻ること(~秒前)は-で表すことができます。

1秒で2m歩く人が、+方向(→方向)に向かって歩いています。

歩き始めてから50mのところまで来ました。

あと5秒歩いたら(5秒後には)、歩き始めてから何mのところにいるでしょうか?

50m+(+2m)×(+5秒)=60m。ー①

それでは、この人は5秒前には歩き始めてから何mのところにいたのでしょうか?

5秒後を+5秒と表すことにすれば、5秒前は-5秒と表すことができるので、

50m+(2m)×(-5秒)と計算することができますね。

5秒前は50m地点から2×5=20mだけ手前にいたはずですから、30m地点にいたはずです。

そうすると、

50m+(2m)×(-5秒)=30mということがわかると思います。

ですから、(2m)×(-5秒)=-10mです。ー②

今度は、この人が、-方向(←方向)に歩き続けていると考えます。

左に歩き続けて、-50m地点につきました。

ここから、5秒後この人はどの地点にいるでしょうか。

-50m+(-2m)×(5秒)と計算することができます。

-50mから左に5秒歩き続けると、2×5=10だけ左に進みますから-60mのところにいるはずです。

ですから、-50m+(-2m)×(5秒)=-60mです。

すなわち、(-2m)×(5秒)=-10mです。ー③

②③から、+と-のかけ算(異符号どうしのかけ算)の積(かけ算の答え)は、どちらから先にかけても-になります

次に、この人は-50m地点から5秒前にはどこにいたでしょう?

5秒前は-50m地点から2m×5秒=10m右側にいたはずですから-40mのところにいます。

つまり、-50m+(-2m)×(-5秒)=-40です。

したがって、(-2m)×(-5秒)=+10です。④

①④から、+と+、-と-のかけ算(=同符号どうしのかけ算)の積(かけ算の答え)は+になります

違う符号どうしのかけ算と割り算は、絶対値の計算結果の前に-をつける。

割り算は割る数を逆数にしてかけ算にできますから、割り算もかけ算と同じに考えることができます。

正の数と負の数のたし算ひき算かけ算わり算、覚えるのはこれだけです。

つるかめ算

つるとかめが15匹います。

つるとかめの足をたすと50本。

つるの足は2本、かめの足は4本です。

つるとかめはなんびきずついるでしょうか?

つるが〇匹、かめが△匹いるとすると、

つるとかかめを足して15匹ですから、

〇+△=15ー①です。

また、つるの足は2本で、かめの足は4本ですから、

2×〇+4×△=50ー②です。

ちょっと話を変えます。

2+3=5ですが、

=の右と左の2,3、5のそれぞれに4をかけると、

2×4+3×4=5×4

8+12=20となり、=は成り立ちます。

また、同じように11をそれぞれの数字にかけても、

2×11+3×11=5×11

22+33=55となり、=が成り立ちます。

このように、=があったときは、

=の右と左にあるそれぞれの数に同じ数をかけても=は成り立ちます。

話を戻します。

①の〇+△=15の、=の右と左に2をかけると、

上でお話ししたように、=の右と左に同じ数をかけても、=は成り立つので、

2×〇+2×△=15×2=30

2×〇+2×△=30ー③になります。

また、ここで話を変えます。

2+6=8

2+3=5

上の式から下の式を引くと、

0+3=3

3=3となり、=が成り立つ式どうしを引いても=は成り立ちます。

ここで、②-③をしてみると、

2×〇+4×△=50ー②

2×〇+2×△=30ー③

2×〇は同じものですから、0になります。

4×△ー2×△は△△△△から△△を引くので△は2つになり、2×△です。

50-30は20です。

引き算しても、上でお話ししたように=は成り立ちますから、

まとめると、

2×△=20です。

△=20÷2=10で、△はかめの数ですから、かめは10匹になります。

つるとかめをたして15ですから、つるは15-10で5羽になります。

つるかめ算

もし、かめが1匹もいなくて、全部つるだけと考えると、足は全部で30本のはずです。

すると余った足は50-30=20本。

つるは15羽以上いないので、この20本は全部かめの足です。

15全部に2本ずつ足をつけて考えていましたが、一つずつに2本ずつ足を足していくと4本足のかめが10匹できます。

 

 

最大公約数

最大公約数は、いくつかの数に共通する一番大きい約数(割り切れる数)です。

どのようにして約数を見つけるかお話しします。

数はいくつかの素数(1とその数の2つの数でしか割れない数、例えば2,3,5,7,11,13…..1は1しか割り切れる数がないので素数ではありません)のかけ算でつくられています。

例えば、6は2×3,18は$2×3^3(=2×3×3)$といった具合です。

ですから、数をこのように素数のかけ算の形に直して、共通している(どちらの数にも含まれている)数を探すと、それが最大公約数になります。

さきほどの例の場合は、2×3が6と18の中に共通して含まれているので、最小公倍数は2×3で6になります。

最大公約数を見つける時、実際には次のようにします。

\begin{array}{c|ccccc}
2 & 6 &,& 12 \\
\hline
3 & 3 &,& 6 \\
\hline
& 1 &,& 2 \
\end{array}

最大公約数を見つけたい二つの数字を並べて書いて、数字の下に割り算を筆算するときの割るの記号を逆さまに書き、左側に二つの数のどちらを割っても割り切れる素数の一番小さい数を書きます。

その次に、二つの数を左に書き入れた数で割った答えを二つの数字の下に書き入れます。

このことを割っていった二つの答えがこうこれ以上割れません!というまで続けていきます。

終わったら、最後に、左端に縦に並んだ数字を全部かけ算した答えが最大公約数です。

同類項とは

同じ文字の項を同類項といいます。

例えば、$2x+3y-x+4y$という式では、

$2xと-x,3yと4y$がそれぞれ同類項です。

同類項どうしは、その前についている数字をたして、一つの項にまとめることができます。

ですから、

$2x+3y-x+4y$

$=2x-x+3y+4y$

$=x+7y$になります。

 

次数とは

文字がかけられている個数を次数といいます。

「式の次数を答えなさい」という問題の場合、単項式と多項式ではちょっと考えが違います。

$例えば、単項式3x^2の次数は、xが2回かけられていますから、次数は2です。$

数字は次数に数えませんから、2がかけられていますが、3ではありません。

また、多項式の次数は一番多くかけられている文字の個数が次数になります

例えば、5x^3+3x^2の次数は3です。

この違いをしっかり覚えましょう。

多項式と項

多項式は、単項式が足し算や引き算でつながった式です。

例えば、$5x+10とか4a^2+5ab-6$とかといった式のことです。

そして、式の中の一つ一つの単項式を、多項式のといいます。

$例えば、4a^2+5ab-6の項は、4a^2,+5ab,-6の三つです。$

 

単項式とは?

単項式

数字だけ(-2とか11とか)、文字($xとかa^2とか$)だけ、数字と文字の組み合わせ($3a^7b^2とか\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }a$とか)で作られたかけ算(=乗法)だけの式を単項式といいます。

かけ算だけの式だから、引き算とか足し算が混じっていないのが多項式との違いです。

単項式が何個かあって、足し算や引き算になっている式は多項式といいます。

$-4x,3x,\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }xy,b^3c^2,-6$

なども単項式です。

$2xとx^2の違い$

$2xは、にえっくすと読み、xが二つあることで、$

$2×x、または、x+xの計算結果です。$

$数字と文字のかけ算は数字を先に書いて、$

$その後に文字を書くのが約束事です。$

$これに対して、x^2は、えっくすにじょう(2乗)と読み、$

$xを2回かけることで、x×xのことです。$

ちゃんと区分して覚えましょう。

それでは問題です。

$x=3のとき、2x…①とx^2…②は、それぞれいくらでしょうか?$

$どちらもxに3を代入して、①の答えは、2×3=6、②の答えは3×3=9です。$

わかりましたか?

 

 

 

通分は分母をそろえて計算することです。

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }+\displaystyle\frac{ 1 }{ 3 }$を計算するとき、どうして通分して分母を6にそろえなければいけないのでしょうか?

なぜ分子、分母どうしをたして、$\displaystyle \frac{ 2 }{ 5 }$としたらダメなのでしょうか?

上の6つに等しく分けられた円を見てください。

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }$は、円の半分の部分ですから、①②③をたした部分です。

また、$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }$は、円を3つに分けたものですから、①②をたした部分です。

円は6つに等しく分けられていますから、①②の部分の大きさは④⑤の部分の大きさと同じです。

このように考えると、$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }+\displaystyle\frac{ 1 }{ 3 }$は①から⑤までの部分であることがわかり、$\displaystyle \frac{ 5 }{ 6 }$であることが理解できます。

計算するときは、分母を2と3の最小公倍数を分母にします。

そして、$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }$は、分母を6にすると分母が3倍になるので、分子も3倍にして3にします。

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }$も、分母を6にして、分母が2倍になりますから、分子にも2をかけて2にします。

つまり、約分したものを約分する前の数字に戻すんです。

いっしょにやってみましょう。

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }+\displaystyle\frac{ 1 }{ 3 }$

=$\displaystyle \frac{ 3 }{ 6 }+\displaystyle\frac{ 2 }{ 6 }$

=$\displaystyle \frac{ 5 }{ 6 }$

分母を同じものにしないと、分数どうしは足し算や引き算ができません。

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }$に$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }$をたしてますから、答えは$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }$よりおおきくならなければなりませんが、分子、分母どうしをたした$\displaystyle \frac{ 2 }{ 5 }$では、$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }$にすらなりません。

かけ算と割り算が入り混じった計算

12÷4×3はいくらでしょう。

12÷4を計算して、その答えと3をかける。①

12×3を計算して、その答えを4で割る。②

÷4を×\displaystyle \frac{ 1 }{ 4 }に直して、最初から計算する。③

3÷4を計算して、その答えを12にかける。④

この4つのやり方で、正しい答え9が導かれます。

かけ算と割り算はどこから計算してもいいですが、

12を4と3をかけた12で割って、答え1としてはダメです。

そのようにすると、3も割る数に含まれてしまいます。

一番間違えにくいのは、③のやり方ではないかなと思います。

割り算は、かけ算に直して(割る数を逆数にする)計算する習慣をつけましょう。