$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}なら\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}?$

いいえちがいます。

例えば、$\sqrt{1}=1,\sqrt{4}=2$ですから、$\sqrt{1}+\sqrt{4}=1+2=3$です。一方、$\sqrt{1+4}=\sqrt{5}は2.236….$ですから、$\sqrt{1}+\sqrt{4}=\sqrt{5}$は成り立ちません。したがって、$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$も成立しないのです。