中学数学 – 秋田県鹿角市塾家庭教師　塾 Schule 満流儀　安保満

引き算をするときの注意

10-5-2はいくらでしょう。

A君は前から順番に計算して答えが3になりました。

B君は5-2=3を計算して3を10から引いて答えが7になりました。

中学生のC君は-5-2=-7を計算して10から7を引いて答えが3になりました。

B君だけが間違えていますが、敗因はどこでしょう。

それは-5-2を計算しないで、5-2を計算してしまったことです。

これは10-(5-2)を計算したことになります。

10-(5-2)=10-5+2≠10-5-2ですからね。

$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a b} なら \sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b} ?$

いいえちがいます。

例えば、 $\sqrt{1} = 1, \sqrt{4} = 2$ ですから、 $\sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$ です。一方、 $\sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} は 2.236 \dots .$ ですから、 $\sqrt{1} + \sqrt{4} = \sqrt{5}$ は成り立ちません。したがって、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b}$ も成立しないのです。

知っていると便利な数学の知識

三角形の高さを三平方で求める。

AからBCに垂線を下ろし交点をDとする。
$A D = x, B D = y, D C = a - y$ とすると、

$c^{2} - y^{2} = b^{2} - (a - y)^{2}$

$c^{2} - y^{2} = b^{2} - a^{2} + 2 a y - y^{2}$

$2 a y = a^{2} - b^{2} + c^{2}$

$y = \frac{a^{2} - b^{2} + c^{2}}{2 a}$

正負の乗除確認問題

$① 4 \times (- 2) \times (- 10) = 80$

掛け算割り算はマイナスの数で答えの正負が決まります。マイナスの数が奇数なら答えもマイナス、マイナスの数が偶数だったら答えはプラスです。

$② (- 9) \div 3 \times 3 = - 9$

割り算は掛け算に直して計算すると間違えにくい。先に3×３を計算してから-9で割るのは、(-9)÷3÷3を計算することになってしまいます。

$③ \frac{7}{2} \div \frac{21}{8} = \frac{7 \times 8}{2 \times 21} = \frac{4}{3}$

逆数に直さないで答えを出すには、 $\frac{最初の分子 \times 次の分母}{最初の分母 \times 次の分子}$ と書き出して約分します。

$④ (- 5)^{2} \times (- 2^{2}) = 25 \times (- 4) = - 100$

$(- 5)^{2} = (- 5) \times (- 5) 、 (- 2^{2}) = (- 2 \times 2) のことです。$

$⑤ (\frac{5}{6} - \frac{1}{3} \times 18 = 15 - 6 = 9$

かける数がかけられる数の共通倍数のときはかっこの中を計算してからかけるのではなく、かける数をかけられる数に分配してかけた方が早いかもです。

展開公式 $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ なわけ。

2+3、式の数字各々に５を掛けると、

2×5+3×5

でも、いちいち×５を２回繰り返すの面倒なので、

5(2+3)

と表す約束事になっています。

５と(の間には×が省略されています。

これらの約束事をうろ覚えにしていると勉強が先に進まないのでしっかり覚えることです。

同じように、2+3の式の数字各々に7をかけるときは7(2+3)と表します。

5(2+3)と7(2+3)をたしたものは、

2+3の式の数字各々に5と7をそれぞれかけることになりますが、

2×5+2×7+3×5+3×7と書き出すのは面倒なので

(2+3)(5+7)と表すことになっています。

即ち、

(2+3)(5+7)=2×5+2×7+3×5+3×7です。

2+3=5、5+7=12ですから、実際は5×12を計算すればいいのですが、

(a+b)(c+d)を計算するときはこの方法が生きてきます。

これを式を「展開する」といいます。

通分すべき問題を通分しないで解く

$\frac{(a - 1) (a - 2)}{3} - \frac{(a - 1) (a - 2) + 5}{4}$

計算を通分で行うと計算が終わるまで分母を表示しないとならないので別の方法を紹介します。

まず、３と４の最小公倍数12を各項にかけます。

$4 (a - 1) (a - 2) - 3 {(a - 1) (a - 2) + 5}$

$= 4 (a - 1) (a - 2) - 3 (a - 1) (a - 2) - 15$

$4 (a - 1) (a - 2) - 3 (a - 1) (a - 2)$ は同類項ですから、

$= (a - 1) (a - 2) - 15$

展開して、

$= a^{2} - 3 a + 2 - 15$

$= a^{2} - 3 a - 13$

最初に12をかけたので、最後に12で割って答えにします。

$\frac{a^{2} - 3 a - 13}{12}$

展開問題　 $(a + 1)^{2} (a - 1)^{2} (a^{2} + 1)^{2}$

かっこどおしの掛け算を先に済ませてから２乗します。

先の二つのかっこの積を片付けて、

$= {(a^{2} - 1) (a^{2} + 1)}^{2}$

３番目のかっことの積を計算します。

$= (a^{4} - 1)^{2}$

最後に展開します。

$= a^{8} - 2 a^{4} + 1$

すべて展開しないで解く問題

$(a^{2} + a + 1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{a^{2}}) (a^{2} - 2 a + 3 - \frac{4}{a} + \frac{5}{a^{2}})$ を展開したときの $a$ の係数を求めなさい。

降べきの順に並んでいることを確認し、掛けてxについての同類項になる項の和だけを計算します。

$a^{2} \cdot (- \frac{4}{a}) + a \cdot 3 + 1 \cdot (- 2 a) + \frac{1}{a} \cdot a^{2}$

$= - 4 a + 3 a - 2 a + x = - 2 a$

即ち、答えは $- 2$

${98.7}^{2} - {26.3}^{2}$ を工夫して計算しなさい。

=(98.7-26.3)(98.7+26.3)

=72.4×125

ここで、125×8=1000、125×4=500に気づければ、

72.4=8×9+0.4ですから、

72.4×125

=125(8×9+0.4)

=125×8×9+125×0.4

=1000×9+50.0

=9050

解の公式導入

$a x^{2} + b x + c = 0$

$a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c = 0$

$a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c = 0$

$a (x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$

両辺を $a$ で割り、

$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$

両辺の平方根をとり、

$(x + \frac{b}{2 a}) = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$