カテゴリー: 中学数学

(2+3)(4+5)=(2+3)×(4+5)=5×9=45ですが

他の方法で計算できないか考えてみます。

4+5=aと考えると、

(2+3)(4+5)

=(2+3)×a

展開すると、こちらのページで説明したように、

=2a+3aです。

a=4+5でしたから、aの代わりに4+5を使うと、

2a+3a

=2×(4+5)+3(4+5)
=2×4+2×5+3×4+3×5

=8+10+12+15

=45と計算できます。

注目していただきたいのは、

(2+3)(4+5)=2×4+2×5+3×4+3×5と計算できることです。

数字でできた式なら、かっこ中数字を足した数をかければいいのですが、

(a+b)(c+d)などの文字式ではそれができません。

ちなみに,

(a+b)(c+d)を展開すると

ac+ad+bc+bd

になります。

畑にニンニクと玉ねぎを植えました。

どちらも一列当たり１５個ずつ植えて、

ニンニクは１３列、玉ねぎは１７列植えました。

ニンニクと玉ねぎは全部で何個植えたでしょうか？

１５×１３＋１５×１７＝１９５＋２５５＝４５０です。

計算が面倒だと思ったら次のように計算することもできます。

ニンニクも玉ねぎも一列当たり１５個ずつのかたまりを、

１３列＋１７列＝３０列ずつ植えましたから、

合わせて１５×（１３＋１７）＝１５×３０＝４５０個植えたことになります。

このことから、

１５×１３＋１５×１７＝１５×（１３＋１７）と計算できることがわかります。

掛け算の中に同じ数があったら（今の場合は１５）、

（その数）×（そのほかの数を足した数（今の場合は１３と１７）

で計算できることを知っていると計算が早くなることがあります。

また、イコールの右と左をひっくり返してのイコールは成り立ちますから

１５×（１３＋１７）＝１５×１３＋１５×１７ということもわかります。

かっこの外の数（今の場合は１５）をかっこの中の数（今の場合は１３と１７）それぞれにかけた数をたしたら答えがでます。

$例えば+(+2)は(+1)×(+2)と同じことですから$

$かっこを外すと+2になります。$

$かっこの前に数字がないときは１が省略されています。$

$+(-2)は(+1)×(-2)のことですからかっこを外すと-2になります。$

$-(+2)は(-1)×(+2)のことですからかっこを外すと-2になります。$

$-(-2)は(-1)×(-2)のことですからかっこを外すと+2になります。$

かける数がマイナスのときにどうしてプラスになったり

マイナスになったりするのかはこちらで説明しています。

1

(1)

$-2\times(4-7)$

$=-2\times(-3)$

$=6$

(2)

$5a+2b-2(3a-b)$

$=5a-6a+2b+2b$

$=-a+4b$

(3)

x を２倍して３を加えた数は$2x+3$であり、$y$はこの数$2x+3$より大きいから、

$y>2x+3$

(4)

a について解くとは、aを左辺、a以外の項を右辺に移項した後で、aの係数で両辺を割り$a=ほにゃらら$の形にすることである。

$4a+5b=8$

→ （移項）$4a=-5b+8$

→ （aの係数4で両辺を割る）$a=\displaystyle\frac{-5b+8}{4}$

→ （8は4で割り切れるので次のように回答してもよい）$a=-\displaystyle\frac{5}{4}b+2$

(5)

$\displaystyle\sqrt{18}-\frac{4}{\sqrt{2}}$

$=\sqrt{2\times3^2}-\displaystyle\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}$

$=3\sqrt2-\displaystyle\frac{4\sqrt{2}}{2}$

$=3\sqrt2-2\sqrt2$

$=\sqrt2$

(6)

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3x + y = 5 -①\\ x – 2y = 11 -②\end{array} \right. \end{eqnarray}$

$①×2+②$

$6x+2y=10$

+

$x-2y=11

↓

$7x=21$

$x=3-③$

③を①に代入して

$3\times3+y=5$

$y=5-9=-4$

∴　$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = -4\end{array} \right. \end{eqnarray}$

(7)

$3x^2-x-1$は因数分解できないので、$3x^2-x-1=0$の解は解の公式を使い、

$\displaystyle =\frac{1±\sqrt{1-4\times3\times(-1)}}{2\times3}$

$\displaystyle =\frac{1±\sqrt{13}}{6}$

(8)

$x^2-2x-3$は$(x-3)(x+1)$と因数分解できる。これに$x=1+\sqrt{5}$を代入して、

$(1+\sqrt{5}-3)(1+\sqrt{5}+1)$

$=(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)$

$=5-4=1$

(9)

碁石をよくかき混ぜるとは、50個の碁石を抽出する前後で全体の碁石の数（白い碁石と黒い碁石を足した数）の中に占める黒い碁石の数の割合が変わらないといいうことである。

白い碁石の数を$x$個とすると、50個の碁石を抽出する前の黒い碁石の全体に占める割合は$\displaystyle\frac{100}{x+100}$、また抽出後の黒い碁石の全体に占める割合は$\displaystyle\frac{7}{50}$であるから、

$\displaystyle\frac{100}{x+100}=\frac{7}{50}$が成り立つ。

$7(x+100)=50\times100$

$7x=5000-700$

$\displaystyle x=\frac{4300}{7}≒614≒610$

(10)

(11)

PQ、QRとABとの交点をそれぞれS、Tとすると、∠ASP=65°=∠QSB、

∠QSB+∠Q=65°+60°=125°=∠ATR（外角定理）=x+∠B=x+90°

∴　$x=125°-90°=35°

(12)

ガラス玉４個の体積は、

$\displaystyle \frac{4・3^3・π}{3}・4$

$=16・9π$

水面の上昇を$x$cmとすると以下の等式が成り立つ。

$8^2π・x=8・2・4π・x=16・9π$

$\displaystyle x=\frac{9}{4}$

したがって、容器の底から水面までの高さは、

$10+\displaystyle \frac{9}{4}$

$=\displaystyle \frac{49}{4}$

2

(1) 不正解数は$20-x$と表すことができるから、

$10x-5(20-x)$

(2)

ア　$n+1$

イ　$n+2$

ウ　n+n+2=2n+2=2(n+1)

n ＋１は真ん中の整数だから，２( n ＋１)は真ん中の整数の２倍である。

(3)

①点Aを中心とし、BCの一部を弦に持つ円を描く。

②①で描いた円とBCとの二つの交点から等距離にあるAとは反対側の任意の交点を描き点Dとする。

③ADとBCとの交点をPとする。

(4)

①

ア　$a<0,b>0$　|a|>|b|のときは負　×

イ　負－正で必ず負になる　×

ウ　正－負で必ず正になる　〇

エ　負×正で必ず負になる　×

②

A（4,3） B（0,1)を通るから、

$y=\displaystyle \frac{3-1}{4-0}(x-0)+1$

$y=\displaystyle \frac{1}{2}x+1$