カテゴリー: 中学数学

$\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}$より、

$\displaystyle\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{c}-①$

逆数をとって、

$\displaystyle\frac{ab}{a+b}=\frac{c}{1}$

即ち、$c=\displaystyle\frac{ab}{a+b}$

①の両辺に$×c×\displaystyle\frac{ab}{a+b}$をかけてもいいですね。

右辺は$(a+b)と\displaystyle\frac{h}{2}$との積でできています。

$\displaystyle\frac{h}{2}$にその逆数である$\displaystyle\frac{2}{h}$を掛けると1になり、右辺は$a+b$になります。

したがって、両辺に$\displaystyle\frac{2}{h}$を掛けると、

$\displaystyle\frac{2S}{h}=a+b$

左右ひっくり返して、

$a+b=\displaystyle\frac{2S}{h}$

bを移項して、

$a=\displaystyle\frac{2S}{h}-b$

6300を素因数分解すると、

6300=2^2×3^2×5^2×7であるから、

７で割ると商は９００となり、３０の平方ができるということがわかる。

代入すると、$3-2\sqrt{3}+1+2(\sqrt{3}-1)+3=3+1-2+3=5$

また、

$x=\sqrt{3}-1$の右辺にある-1を左辺に移行して式を２乗すると、左辺に$x^2+2x$ができるので式の値を$x^2+2x+3$に代入しても答えが出そうです。

$x=\sqrt{3}-1$より、

$x+1=\sqrt{3}$

両辺を２乗して、

$x^2+2x+1=3$

両辺に２をたして、

$x^2+2x+3=5$

あなたが簡単と思える方で解けばいいと思いますが、直接代入する以外の方法も覚えておくと後々ためになりますよ。

①直接代入して求める方法

$x^2+y^2=(\sqrt{5}+1)^2+(\sqrt{5}-1)^2$

$=5+2\sqrt{5}+1+5-2\sqrt{5}+1$

$=12$

②$x^2+y^2$は対称式ですから、$x+y,xy$で表すことができます。

対称式とは文字を入れ替えても同じ式になるものをいいます。

$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$

今、$x+y=2\sqrt{5}, xy=5-1=4$より、

与式$=20-8=12$

$\displaystyle\frac{12a^6b^2×2a^3b^5}{4a^2b^2}$を計算してもいいのですが筆算する手間がかかります。

頭の中で下のように計算できると筆算必要ありません。

$12÷4×2a^{6-2+3}b^{2-2+5}=6a^7b^5$

累乗の加減の結果が０になれば答えは１、マイナスになれば答えは累乗の逆数になります。

例えば、$a^0=1$、$a^{-2}=\displaystyle\frac{1}{a^2}$です。

２と３の最小公倍数６を掛けて６で割ります。

$\displaystyle6(\frac{4x-3y}{2}-\frac{x+2y}{3})÷6$

=$\displaystyle\frac{3(4x-3y)-2(x+2y)}{6}$

=$\displaystyle\frac{12x-9y-2x-4y)}{6}$

=$\displaystyle\frac{10x-13y}{6}$

例えば、5.6の整数部分は5、小数部分は0.6で、$5+0.6=5.6$です。

このように小数をともなう数は、整数部分と小数部分からできていて、その数＝整数部分＋小数部分が成り立ちます。

今$\sqrt{2}$は$\sqrt{1}=1$と$\sqrt{4}=2$の間にあるので整数部分は1ですから、$\sqrt{2}$の小数部分を$a$で表すならば、$\sqrt{2}=1+a$が成り立ちます。

ここで、$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$であり、aで表せば$\sqrt{32}=4(1+a)$です。

また、$\sqrt{32}$は$\sqrt{25}=5$と$\sqrt{36}=6$の間にあるので、整数部分は5です。

これらのことから、$\sqrt{32}=4(1+a)=5+(\sqrt{32}$の小数部分)が成り立ち、$\sqrt{32}$の小数部分は$4(1+a)-5=4a-1$ということになります。

（＋５）＋（＋２）、（＋５）＋（－２）、（＋５）－（＋２）、（＋５）－（－２）など、式の中にある＋や－の演算子の役割の話をします。

＋演算子は、その後に続くカッコ内の数に「符号の方向にあなたの数だけ進みなさい。」と命令します。

命令を聞いた（＋５）＋（＋２）の２は、プラスの方向に２進んで７に到着します。

また、（＋５）＋（－２）の２は、マイナスの方向に２進んで３に到着します。

一方、－演算子は、その後に続くカッコ内の数に「符号とは反対方向にあなたの数だけ進みなさい。」と命令します。

そこで、－演算子に命令された（＋５）－（＋２）の２は、プラスとは反対のマイナス方向に２進んで３に到着します。

また、同じく－演算子に命令された（＋５）－（－２）の２は、マイナスとは反対のプラス方向に２進んで７に到着します。

以上のことから次のことがわかります。

$+(+▲)=-(-▲), +(-●)=-(+●)$

$▲と●$は数を表します。

そして、このルールはどんな数にも適用できます。

割り算をするときには、割られる数に割る数の逆数をかけますが、それはなぜでしょう？

例えば、6÷２＝３ですが、

$\displaystyle ６×\frac{ 1 }{ 2 }$

$\displaystyle ＝\frac{ 6 }{ 1 }× \frac{ 1 }{ 2 }$

$\displaystyle ＝ \frac{ 6×1 }{ 1×2 }＝ \frac{ 6 }{ 2 }＝３と考えることもできます。$

÷2は2つに分けることです。

$中学数学では、２つに分けることを、$

$「\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }にする（\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }をかける）」と考えます。$

÷の記号は、真ん中の線の上に点が２つ上と下に乗っかっています。

上の点は割られる数、下の点は割る数を表しています。

$ですから、\displaystyle \frac{ 6 }{ 2 }は、$

6を2で割る、6を2つに分けることを表しています。

もう少し複雑な問題を考えてみます。

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }÷ \frac{ 11 }{ 3 }$

$答えは、上でお話ししたように、$

$「\displaystyle÷\frac{ 11 }{ 3 }」を逆数の「×\frac{ 3 }{ 11}」」にして、$

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }×\frac{ 3 }{ 11}$

$=\displaystyle \frac{ 5×3 }{ 7×11 }$

$=\displaystyle \frac{ 15 }{ 77}$

とすればいいのですが、

この問題を、数学的な言葉の定義ではなく、四則演算の観点から考えてみます。

$この答えをxとすると、$

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }÷ \frac{ 11 }{ 3 }=x$

$左右両辺に\displaystyle \frac{ 11 }{ 3 }をかけて、$

（＝の右と左に同じ数をかけても＝が成り立つ性質を利用します）

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }× \frac{ 11 }{ 3 }÷ \frac{ 11 }{ 3 }=x× \frac{ 11 }{ 3 }$

$右辺の\displaystyle \frac{ 11 }{ 3 }÷ \frac{ 11 }{ 3 }を計算すると、$

同じ数どうしの割り算なので１になり、

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }=x× \frac{ 11 }{ 3 }$

と、簡単にできます。

$両辺に \displaystyle \frac{ 11 }{ 3 }の逆数、\displaystyle  \frac{ 3 }{ 11 }をかけると、$

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }× \frac{ 3 }{ 11 }=x× \frac{ 11 }{ 3 }× \frac{ 3 }{ 11 }$

$\displaystyle \frac{ 5×3 }{ 7×11 }=x× \frac{ 11×3 }{ 3×11 }$

$\displaystyle \frac{ 15 }{77 }=x$

右辺と左辺を取り換えて、

$x=\displaystyle \frac{ 15 }{77 }$

以上のように、イコールの性質を利用した四則演算の観点からみても同じ結果になります。

実際に問題を解くときは、もちろん、割る数を逆数してかけると簡単だし、早く解けます。