月: 2019年3月

昨日、中学新1年生が2人、塾に入りたいということで訪ねてくれました。

これで、新1年生は3人になりました。

みなさん、算数が苦手ということでしたから、

まずは、小学校で習う基礎から始めたいと思っています。

近ごろは、1年生から入学する生徒がだんだん増えてきました。

早い時期から来ていただくと、時間をかけてゆっくり教えることができるので理解が深まっていくと思います。

明後日進学のため他県へ行く方がいます。

今日は最後の授業でした。

別れ際に、「先生、ネットを介してこれからも教えてください」

と言われ、うれしかったです。

さあ、がんばって早々に準1とってしまいましょう！

 

今、国際教養大学に編入で入学したいという方に英語を教えています。

今の英検レベルは２級の中。

早く準１をとって自信をつけてもらいたいです。

一生懸命な方なので塾休みにも勉強をみています。

結果を出せるように頑張ってほしいです。

今度中学生になるお子さんと面接をしました。

英検は既に５級を持っているそうで、すごいなと思いました。

数学が苦手なので教えてくださいとのことでした。

早い時期から始めるのは後々いい結果になると思います。

楽しい１年になりそうです。

${}_n{\mathrm{C}}_r={}_n{\mathrm{C}}_{n-r}$

${}_n{\mathrm{C}}_r={}_{n-1}{\mathrm{C}}_{r-1}+{}_{n-1}{\mathrm{C}}_r$

証明

${}_{n-1}{\mathrm{C}}_{r-1}=\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-1-r+1)!}=\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}$

$=\frac{(n-1)(n-2)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\{n-(r-1)\}(n-r)!}{(r-1)!(n-r)!}=\frac{(n-1)(n-2)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\{n-(r-1)\}}{(r-1)!}$

${}_{n-1}{\mathrm{C}}_r=\frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!}=\frac{(n-1)(n-2)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(n-r)\{n-(r+1)\}!}{r!\{n-(r+1)\}!}$

$=\frac{(n-1)(n-2)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(n-r)}{r!}$

よって、

${}_{n-1}{\mathrm{C}}_{r-1}+{}_{n-1}{\mathrm{C}}_r$

$=\frac{(n-1)(n-2)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\{n-(r-1)\}}{(r-1)!}+\frac{(n-1)(n-2)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(n-r)}{r!}$

$=\frac{r!(n-1)(n-2)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\{n-(r-1)\}+(r-1)!(n-1)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\{n-(r-1)\}(n-r)!}{r!(r-1)!}$

$=\frac{(r-1)!(n-1)(n-2)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\{n-(r-1)\}\{r+(n-r)\}}{r!(r-1)!}$

$=\frac{n(n-1)(n-2)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\{n-(r-1)\}}{r!}$

$=\frac{n(n-1)(n-2)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\{n-(r-1)\}(n-r)!}{r!(n-r)!}$

$=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

$={}_n{\mathrm{C}}_r$