カテゴリー: 高校数学

グラフが下に凸の場合です。上に凸の場合は最大値を最小値、最小値を最大値と読み替えます。

最大値

最大値は、軸と区間中点との位置関係で場合分けし、軸から最も離れた区間内のXの値に対応する Y の値を求める。

①　軸が区間中点の左側にある場合は、区間始点より終点の方が軸からより離れているため、区間終点のXの値に対応するYの値が最大値になる。

②　軸が区間中点と一致する場合は、軸からの距離が区間始点と終点双方とも同じであるからこれら双方のXの値に相当するYの値が最大値になる。

③　軸が区間中点の右側にある場合は、区間終点より始点の方が軸からより離れているため、区間始点のXの値のときのYの値が最大値になる。

最小値

最小値は、軸が区間に含まれるか否かで場合分けする。

①　軸が区間に含まれる場合は頂点のY座標が最小値である。

②　軸が区間外にある場合は軸に最も近い区間内の X の値に対応する Y 座標が最小値である。

$x^2-7xy-18y^2$

掛けて-18、足して-7になる整数の組を考えます。

掛けて18になる組み合わせは1×18、2×9、3×6です。

この中から、掛けた結果がマイナスになることと、足して-7になる組み合わせを考えると、それは2と-9ということになります。

即ち、$x^2-7xy-18y^2$=(x+2y)(x-9y)ということになります。

$9a^2-24ab+16b^2$

最初と最後の項がある数の2乗になっていたら、係数が奇数になっている項の係数のプラス平方根と係数が偶数になっている項の半分を掛けたものが２番目の項の係数になっているときは$(\mathrm{最}\mathrm{初}\mathrm{の}\mathrm{項}\mathrm{の}\mathrm{平}\mathrm{方}\mathrm{根}\pm \mathrm{最}\mathrm{後}\mathrm{の}\mathrm{項}\mathrm{の}\mathrm{平}\mathrm{方}\mathrm{根}{)}^2$の型に因数分解できます。

なお、$\pm$は２番目の項の±に依存します。

最初の項の係数のプラス平方根は3、最後の項の係数の半分は8で$3\times 8=24$で２番目の項の係数の絶対値24に一致します。

即ち、

与式$=(3a-4b{)}^2$

$a(x-3y)+b(3y-x)$

$+b(3y-x)$の$b$と$(3y-x)$両方に$-1$を掛けます。

$-1\times -1=1$で式の値が変わりませんからこんな芸当ができます。

$=a(x-3y)-b(x-3y)$

$=(a-b)(x-3y)$

二次方程式と一次方程式の連立方程式の解の和は$-{\displaystyle \frac{x\mathrm{の}\mathrm{係}\mathrm{数}}{x^2\mathrm{の}\mathrm{係}\mathrm{数}}}$で求めることができます。

$\mathrm{例}\mathrm{え}\mathrm{ば}、y={\displaystyle \frac{1}{3}{x}^2\mathrm{と}y=x+6\mathrm{の}\mathrm{連}\mathrm{立}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{式}y={\displaystyle \frac{1}{3}{x}^2-x-6=0\mathrm{の}\mathrm{場}\mathrm{合}、\mathrm{解}\mathrm{の}\mathrm{和}\mathrm{は}-{\displaystyle \frac{-1}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}=3}}}$です。

$y={\displaystyle \frac{1}{3}{x}^2\mathrm{と}\mathrm{連}\mathrm{立}\mathrm{を}\mathrm{組}\mathrm{む}\mathrm{一}\mathrm{次}\mathrm{式}\mathrm{の}\mathrm{傾}\mathrm{き}\mathrm{が}\mathrm{変}\mathrm{わ}\mathrm{ら}\mathrm{な}\mathrm{い}\mathrm{場}\mathrm{合}\mathrm{①}、\mathrm{切}\mathrm{片}\mathrm{の}\mathrm{値}\mathrm{が}\mathrm{変}\mathrm{わ}\mathrm{っ}\mathrm{た}\mathrm{と}\mathrm{し}\mathrm{て}\mathrm{も}-{\displaystyle \frac{x\mathrm{の}\mathrm{係}\mathrm{数}}{x^2\mathrm{の}\mathrm{係}\mathrm{数}}\mathrm{の}\mathrm{値}\mathrm{は}\mathrm{変}\mathrm{わ}\mathrm{り}\mathrm{ま}\mathrm{せ}\mathrm{ん}。}}$

$\mathrm{そ}\mathrm{し}\mathrm{て}、\mathrm{仮}\mathrm{に}\mathrm{①}\mathrm{が}\mathrm{原}\mathrm{点}\mathrm{を}\mathrm{通}\mathrm{る}\mathrm{の}\mathrm{で}\mathrm{あ}\mathrm{れ}\mathrm{ば}、\mathrm{和}\mathrm{が}３\mathrm{で}\mathrm{す}\mathrm{か}\mathrm{ら}\mathrm{交}\mathrm{点}\mathrm{の}x\mathrm{座}\mathrm{標}\mathrm{は}\mathrm{瞬}\mathrm{時}\mathrm{に}３\mathrm{と}\mathrm{わ}\mathrm{か}\mathrm{り}\mathrm{ま}\mathrm{す}。$

詳しいことを知りたければ「解と係数の関係」で検索してください。

以下なぜか、説明します。

$y=a{x}^2$と$y=bx+c$の交点の$x$座標は$a{x}^2-bx-c=0$の解です。

$x={\displaystyle \frac{b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

$\mathrm{二}\mathrm{つ}\mathrm{の}\mathrm{解}\mathrm{を}\mathrm{た}\mathrm{す}\mathrm{と}\mathrm{ル}\mathrm{ー}\mathrm{ト}\mathrm{が}\mathrm{消}\mathrm{え}\mathrm{て}{\displaystyle \frac{b}{a}}$になります。

また、$y=a{x}^2$と$y=bx+d$の交点の$x$座標は$a{x}^2-bx-d=0$の解です。

$x={\displaystyle \frac{b\pm \sqrt{b^2-4ad}}{2a}}$

$\mathrm{こ}\mathrm{ち}\mathrm{ら}\mathrm{も}\mathrm{二}\mathrm{つ}\mathrm{の}\mathrm{解}\mathrm{を}\mathrm{た}\mathrm{す}\mathrm{と}{\displaystyle \frac{b}{a}\mathrm{に}\mathrm{な}\mathrm{り}\mathrm{ま}\mathrm{す}。}$

これらのことから一般的に「A+B=C+D」ということができます。

$\mathrm{な}\mathrm{お}、a{x}^2+bx+c=0\mathrm{の}\mathrm{二}\mathrm{つ}\mathrm{の}\mathrm{解}\mathrm{を}\alpha ,\beta \mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と}\mathrm{次}\mathrm{の}\mathrm{等}\mathrm{式}\mathrm{が}\mathrm{成}\mathrm{り}\mathrm{立}\mathrm{ち}\mathrm{ま}\mathrm{す}。$

$a{x}^2+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=0$

解とは$x$の値ですから当然ですよね。

$\mathrm{で}、a(x-\alpha )(x-\beta )\mathrm{を}\mathrm{展}\mathrm{開}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と}a{x}^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta \mathrm{に}\mathrm{な}\mathrm{り}\mathrm{ま}\mathrm{す}\mathrm{か}\mathrm{ら}、$

$a{x}^2+bx+c=a{x}^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =a{x}^2-a(\alpha +\beta )x+a\alpha \beta =0\mathrm{で}\mathrm{す}。$

すなわち恒等式の性質からxの係数について$b=-a(\alpha +\beta )$が成り立ちますから、

$\alpha +\beta =-{\displaystyle \frac{b}{a}}$が成り立ち、解の和は$-{\displaystyle \frac{x\mathrm{の}\mathrm{係}\mathrm{数}}{x^2\mathrm{の}\mathrm{係}\mathrm{数}}}$で求められることがわかります。

$-(x+y-z)(x-y+z)$の$-\mathrm{を}+$に変え、$(x-y+z)$に$-1$をかけます。

カッコ内文字の順序を入れ替え、和と差の積(●+▲)(●-▲)の型に持ち込みます。

$=(y+z+x)(y+z-x)+(y-z+x)(y-z-x)$

$=(y+z{)}^2-x^2+(y-z{)}^2-x^2$

yzの項は消えてしまうので、２乗項だけが残ります。

$=-2x^2+2y^2+2z^2$

①$(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)$

$=(a-1)(a-4)(a-2)(a-3)$

$=(a^2-5a+4)(a^2-5a+6)$

$=(a^2-5a{)}^2+10(a^2-5a)+24$

$=a^4-10a^3+25a^2+10a^2-50a+24$

$=a^4-10a^3+35a^2-50a+24$

指針　１次までの項が揃うように組み合わせを考えて展開後に(a+b)(a+c)型展開適用。

$\mathrm{②}(w+x-y-z)(w-x-y+z)$

$=\{(w-y)+(x-z)\}\{(w-y)-(x-z)\}$

$=(w-y{)}^2-(x-z{)}^2$

$=w^2-2wy+y^2-(x^2-2xz+z^2)$

$=w^2-2wy+y^2-x^2+2xz-z^2$

$=w^2-x^2+y^2-z^2-2wy+2xz$

指針　(a+b)(a-b)型に導く

$\mathrm{③}=(a^2+a+1)(2a^2+2a-3)$

$=2(a^2+a+1)(a^2+a-{\displaystyle \frac{3}{2})}$

$=2\{(a^2+a{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}(a^2+a)-{\displaystyle \frac{3}{2}\}}}$

$=2a^4+4a^3+a^2-a-3$

指針　aについて一次までの項が揃うように工夫する。

または、

$=(a^2+a+1)\{2(a^2+a)-3\}$

$=2(a^2+a{)}^2+(-3+2\cdot 1)(a^2+a)-3$

$=2a^4+4a^3+2a^2-a^2-a-3$

$=2a^4+4a^3+a^2-a-3$