$上図と脚注から、y=1からy=nまでの間に存在する格子点の数は$
$\displaystyle \sum_{k=1}^n (4k-3)$
$=4\cdot\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}-3n$
$=2n^2-n-①$
$y=-1からy=-nまでの間にも同数が存在する。-②$
$また、y=0上には2n+2n+1（原点）=4n+1の格子点がある。-③$
$即ち、①②③から|x|+|2y|≦2nを満たす格子点の総数は、$
$2(2n^2-n)+4n+1$
$=4n^2+2n+1$
$※なお、前問はn=2のときであるから、$
$格子点は4\cdot 2^2+2\cdot 2+1=21$
$かかる長さはx軸との交点（=二つの解）間の距離である。$
$y=ax^2+bx+cの場合、二つの解をα,βとすると、$
$|α-β|=\sqrt{(α-β)^2}$
$=\sqrt{(α+β)^2-4αβ}$
$=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{b^2}{a^2}-\displaystyle\frac{4c}{a}}$
$=\displaystyle\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}$
$=\displaystyle\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$
別解
$解の公式での解 \displaystyle\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}から$
$\displaystyle\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\displaystyle\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$=\displaystyle\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$
$上のグラフは(x-2)(x-5)=x^2-7x+10であるから$
$\displaystyle\frac{\sqrt{7^2-4\cdot1\cdot10}}{1}=3$
$f(x)=y=x^2+2x+3をx軸の方向に５平行移動すると$
$g(x)=y=(x-5)^2+2(x-5)+3になる。$
なぜか？
考え方１
$移動先g(x)上の任意の点(x,y)をx軸に-5平行移動した点は$
$(x-5,y)であり、この点はf(x)上の点でもある。$
$グラフ上の任意の点はそのグラフの方程式を満たすから、$
$f(x)の方程式のxに(x-5)を代入するとy=(x-5)^2+2(x-5)+3が成り立つ。$
考え方２
$例えば、f(x)上の点(0,3)はx軸方向へ5平行移動したものであるから$
$移動先のg(x)上では(5,3)である。$
$xの値が5増えてもyは3を維持している。$
$x=5のときx^2とxの項の値が0になるように立式するとyの値は3を維持できる。$
$即ち、x^2乗の項を(x-5)x^2、xの項を2(x-5)にすることでx=5のとき$
$これら２つの項は0になりy=0となる。$
グラフが下に凸の場合です。上に凸の場合は最大値を最小値、最小値を最大値と読み替えます。
最大値
最大値は、軸と区間中点との位置関係で場合分けし、軸から最も離れた区間内のXの値に対応する Y の値を求める。
① 軸が区間中点の左側にある場合は、区間始点より終点の方が軸からより離れているため、区間終点のXの値に対応するYの値が最大値になる。
② 軸が区間中点と一致する場合は、軸からの距離が区間始点と終点双方とも同じであるからこれら双方のXの値に相当するYの値が最大値になる。
③ 軸が区間中点の右側にある場合は、区間終点より始点の方が軸からより離れているため、区間始点のXの値のときのYの値が最大値になる。
最小値
最小値は、軸が区間に含まれるか否かで場合分けする。
① 軸が区間に含まれる場合は頂点のY座標が最小値である。
② 軸が区間外にある場合は軸に最も近い区間内の X の値に対応する Y 座標が最小値である。
$x^2-7xy-18y^2$
掛けて-18、足して-7になる整数の組を考えます。
掛けて18になる組み合わせは1×18、2×9、3×6です。
この中から、掛けた結果がマイナスになることと、足して-7になる組み合わせを考えると、それは2と-9ということになります。
即ち、$x^2-7xy-18y^2$=(x+2y)(x-9y)ということになります。
$9a^2-24ab+16b^2$
最初と最後の項がある数の2乗になっていたら、係数が奇数になっている項の係数のプラス平方根と係数が偶数になっている項の半分を掛けたものが２番目の項の係数になっているときは$(最初の項の平方根±最後の項の平方根)^2$の型に因数分解できます。
なお、$±$は２番目の項の±に依存します。
最初の項の係数のプラス平方根は3、最後の項の係数の半分は8で$3×8=24$で２番目の項の係数の絶対値24に一致します。
即ち、
与式$=(3a-4b)^2$