月: 2024年11月

$①(2x-3y-5z)^2$

$=(2x)^2+(-3y)^2+(-5y)^2+2(2x)(-3y)+2(-3y)(-5z)+2(2x)(-5z)$

$=4x^2+9y^2+25z^2-12xy+30yz-20zx$

ヒント　$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$型

$②(x-2y+3z)(x+2y-3z)$

$=\lbrace x-(2y-3z) \rbrace \lbrace x+(2y-3z) \rbrace$

$=x^2-(2y-3z)^2$

$=x^2-(4y^2-12yz+9z^2)$

$=x^2-4y^2+12yz-9z^2$

ヒント　$(a+b)(a-b)=a^2-b^2型$

$③(a^2+2a-1)(a^2+2a-3)$

$=(a^2+2a)^2-4(a^2+2a)+3$

$=a^4+4a^3+4a^2-4a^2-8a+3$

$=a^4+4a^3-8a+3$

ヒント　$(a+b)(a+c)=a^2+(b+c)a+bc$型

$④(x+2y)^2(x-2y)^2$

$=\lbrace (x+2y)(x-2y) \rbrace ^2$

$=(x^2-4y^2)^2$

$=x^4-8x^2y^2+16y^4$

$\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}$より、

$\displaystyle\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{c}-①$

逆数をとって、

$\displaystyle\frac{ab}{a+b}=\frac{c}{1}$

即ち、$c=\displaystyle\frac{ab}{a+b}$

①の両辺に$×c×\displaystyle\frac{ab}{a+b}$をかけてもいいですね。

右辺は$(a+b)と\displaystyle\frac{h}{2}$との積でできています。

$\displaystyle\frac{h}{2}$にその逆数である$\displaystyle\frac{2}{h}$を掛けると1になり、右辺は$a+b$になります。

したがって、両辺に$\displaystyle\frac{2}{h}$を掛けると、

$\displaystyle\frac{2S}{h}=a+b$

左右ひっくり返して、

$a+b=\displaystyle\frac{2S}{h}$

bを移項して、

$a=\displaystyle\frac{2S}{h}-b$

右辺は$\displaystyle\frac{(a+b)}{2}$と$h$との積でできています。

$\displaystyle\frac{(a+b)}{2}$にその逆数である$\displaystyle\frac{2}{(a+b)}$を掛けると1になり、右辺は$1×h=h$になります。

したがって、両辺に$\displaystyle\frac{2}{(a+b)}$を掛けると、

$\displaystyle\frac{2}{(a+b)}×S=h$

左右ひっくり返して、

$h=\displaystyle\frac{2S}{(a+b)}$

6300を素因数分解すると、

6300=2^2×3^2×5^2×7であるから、

７で割ると商は９００となり、３０の平方ができるということがわかる。

代入すると、$3-2\sqrt{3}+1+2(\sqrt{3}-1)+3=3+1-2+3=5$

また、

$x=\sqrt{3}-1$の右辺にある-1を左辺に移行して式を２乗すると、左辺に$x^2+2x$ができるので式の値を$x^2+2x+3$に代入しても答えが出そうです。

$x=\sqrt{3}-1$より、

$x+1=\sqrt{3}$

両辺を２乗して、

$x^2+2x+1=3$

両辺に２をたして、

$x^2+2x+3=5$

あなたが簡単と思える方で解けばいいと思いますが、直接代入する以外の方法も覚えておくと後々ためになりますよ。

①直接代入して求める方法

$x^2+y^2=(\sqrt{5}+1)^2+(\sqrt{5}-1)^2$

$=5+2\sqrt{5}+1+5-2\sqrt{5}+1$

$=12$

②$x^2+y^2$は対称式ですから、$x+y,xy$で表すことができます。

対称式とは文字を入れ替えても同じ式になるものをいいます。

$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$

今、$x+y=2\sqrt{5}, xy=5-1=4$より、

与式$=20-8=12$

$\displaystyle\frac{12a^6b^2×2a^3b^5}{4a^2b^2}$を計算してもいいのですが筆算する手間がかかります。

頭の中で下のように計算できると筆算必要ありません。

$12÷4×2a^{6-2+3}b^{2-2+5}=6a^7b^5$

累乗の加減の結果が０になれば答えは１、マイナスになれば答えは累乗の逆数になります。

例えば、$a^0=1$、$a^{-2}=\displaystyle\frac{1}{a^2}$です。

２と３の最小公倍数６を掛けて６で割ります。

$\displaystyle6(\frac{4x-3y}{2}-\frac{x+2y}{3})÷6$

=$\displaystyle\frac{3(4x-3y)-2(x+2y)}{6}$

=$\displaystyle\frac{12x-9y-2x-4y)}{6}$

=$\displaystyle\frac{10x-13y}{6}$

例えば、5.6の整数部分は5、小数部分は0.6で、$5+0.6=5.6$です。

このように小数をともなう数は、整数部分と小数部分からできていて、その数＝整数部分＋小数部分が成り立ちます。

今$\sqrt{2}$は$\sqrt{1}=1$と$\sqrt{4}=2$の間にあるので整数部分は1ですから、$\sqrt{2}$の小数部分を$a$で表すならば、$\sqrt{2}=1+a$が成り立ちます。

ここで、$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$であり、aで表せば$\sqrt{32}=4(1+a)$です。

また、$\sqrt{32}$は$\sqrt{25}=5$と$\sqrt{36}=6$の間にあるので、整数部分は5です。

これらのことから、$\sqrt{32}=4(1+a)=5+(\sqrt{32}$の小数部分)が成り立ち、$\sqrt{32}$の小数部分は$4(1+a)-5=4a-1$ということになります。