月: 2016年7月

分数は最大公約数を使って、「もうこれ以上簡単にできません」レベルまで約分しなくてはいけません。

例えば、8/12は分母と分子を２で割ると4/6ですが、ここで終わってしまってはダメで、更に２で割って2/3としなければなりません。

分母と分子にひとつずつしか数字がないときは簡単なのですが、

中には分子に項が２つあるものもあります。

例えば、(3x+6)/3。

こんな時は、分子の３と６、分母の３の最大公約数３で約分して、(x+2)/1=x+2とします。

ただし、分子と分母の係数の中に割り切れないものが一つでもあったら約分はできません。

例えば、(6x+4)/3は、2x+4とはできません。

(6x+4)/3を分解すると6x/3+4/3です。

6x/3+4/3=2x+4/3=(6x+4)/6で2x+4ではありません。

 

分数を含む一次式の加減

次の計算をしなさい。

①　(x-3)/3-(x-1)/4

分母の３と４の最小公倍数１２を共通の分母にして、それぞれの分子を４倍、３倍する。

={4(x-3)-3(x-1)}/12

分子を展開する。

=(4x-12-3x+3)/12

分子の同類項をまとめて整理してから、約分できるかどうか検討する。

=(x-9)/12

ｘの前に省略されている係数１と９と１２の最大公倍数は１なので、これ以上約分できない。

②　(6x+y)/2+(5x-y)/6-(4x-2y)/3

分母の２と６と３の最小公倍数６を共通の分母にして、それぞれの分子を３倍、１倍、２倍する。

={3(6x+y)+(5x-y)-2(4x-2y)}/6

分子を展開する。

=(18x+3y+5x-y-8x+4y)/6

分子の中の同類項をまとめて整理する。

=(15x+6y)/6

３つの係数、１５と６と６を、その最大公約数３で割って約分する。

(5x+2y)/2

③　(5x+2y-1)/3-(x+2y+2)/2-(x-2y+1)/6

分母の３と２と６の最小公倍数６を共通の分母にして、それぞれの分子を２倍、３倍、１倍する。

={2(5x+2y-1)-3(x+2y+2)-(x-2y+1)}/6

=(10x+4y-2-3x-6y-6-x+2y-1)/6

分子の中の同類項をまとめて整理する。

=(6x-9)/6

３つの係数、６と９と６を、その最大公約数３で割って約分する。

(2x-3)/2

太郎さんはある果物屋さんから柿2個とぶどうを4房買ったら1000円でした。

また、同じ店で花子さんが柿2個とぶどうを2房買ったところ代金は600円でした。

柿1個とぶどう1房当たりの代金はそれぞれいくらでしょうか？

上の図のように、柿2個とぶどう2房で600円ですから、

ぶどう2房は400円で買えることになり、

ぶどう1房の値段は400÷2で200円になります。

ぶどうの値段が1房200円とすると、太郎さんが払った1000円のうち、

ぶどう4房の値段は800円になりますから、柿2個の値段は200円となり、

柿は1個100円だったということがわかります。

これを連立方程式の消去法で考えると以下のようになります。

柿1個とぶどう１房当たりの代金がわからないので、文字を使ってそれぞれa,bとします。

太郎さんは柿2個とぶどうを4房買って1000円になったので、

柿の個数×柿1個当たりの代金＋ぶどうの個数×ぶどう1房当たりの代金＝太郎さんの支払額にあてはめて、

2a＋4b＝1000ー①が成り立ちます。

また、花子さんは柿2個とぶどうを2房買って600円を支払いましたから、

2a＋2b＝600ー②が成り立ちます。

上の図で考えたように①から②を差し引いて、左辺どうしの差＝右辺どうしの差

とすると、共通する部分が消えてしまい、ぶどう2房分の値が出てきます。

2b＝400

両辺を2で割ると、b＝200

①のbを200と考えると（これを代入するといいます）、

①は、2a＋4×200＝1000となり、2a＝200で、a＝100となります。

このように二つのわからない文字の片方を消し去り（今の場合はa）、

もう一方の文字の値を求め（bですね）、その値から消し去った値（aです）を求める

・・・・・これを、連立方程式を消去法で解くといいます。

１．1と文字との掛け算、例えば1×aは1aではなく、1を省略してaと書きます。でも、１を省くからといって、0.1×bを0bとか0.bなどとしてはいけません。0.1bと書きましょう。

２．分数と文字との掛け算、例えば×Xはとかと書きます。

３．（-1）×aは、１と同じく1を省略して-aと書きましょう。

４．X×b×aは、abXとアルファベット順に並べましょう。

５．文字が混じった情報では、演算記号の×をはぶきますが、加法の記号＋や減法の記号－は省略できません。省略したら掛け算なのか足し算なのか引き算なのかわからなくなってしまいますよね。

５．例えば、aとbの和の3倍というときは、3×(a＋b)ですから×を省いて3(a＋b)とします。

 

こちらで調べたマッチ棒の本数は、つくる正方形の個数によって変わってきます。

1，2，3・・・個と変化する正方形の個数を、数学では変数といってアルファベット（英語文字）のxなどを使って

1＋3xと表すことがあります。

このようにすると、

マッチ棒を横に並べて正方形を作ると、正方形2個の場合はマッチ棒が7個必要、3個の場合は10個必要、・・・100個の場合は3001個必要・・・・

という風に正方形の個数ごとにいちいち書く必要がなく、

正方形x個のとき、マッチ棒は1+3×x（本）必要です。

と表すだけですみます。

文字を使った式では掛け算の×（演算記号）とアルファベットのかん違いを防ぐため、

×などの演算記号を省略します。

なので、1+3×xは1+3xと書きましょう。

マッチ棒を使って10個の正方形を作るには、

4×10＝40個のマッチ棒が必要です。

それでは、

正方形を横に並べていって、縦の棒を共有する（隣り合う二つの正方形の縦棒が1本ということ）、正方形を10個作るには何本のマッチ棒が必要でしょうか？