月: 2025年2月

グラフが下に凸の場合です。上に凸の場合は最大値を最小値、最小値を最大値と読み替えます。

最大値

最大値は、軸と区間中点との位置関係で場合分けし、軸から最も離れた区間内のXの値に対応する Y の値を求める。

①　軸が区間中点の左側にある場合は、区間始点より終点の方が軸からより離れているため、区間終点のXの値に対応するYの値が最大値になる。

②　軸が区間中点と一致する場合は、軸からの距離が区間始点と終点双方とも同じであるからこれら双方のXの値に相当するYの値が最大値になる。

③　軸が区間中点の右側にある場合は、区間終点より始点の方が軸からより離れているため、区間始点のXの値のときのYの値が最大値になる。

最小値

最小値は、軸が区間に含まれるか否かで場合分けする。

①　軸が区間に含まれる場合は頂点のY座標が最小値である。

②　軸が区間外にある場合は軸に最も近い区間内の X の値に対応する Y 座標が最小値である。

$x^2-7xy-18y^2$

掛けて-18、足して-7になる整数の組を考えます。

掛けて18になる組み合わせは1×18、2×9、3×6です。

この中から、掛けた結果がマイナスになることと、足して-7になる組み合わせを考えると、それは2と-9ということになります。

即ち、$x^2-7xy-18y^2$=(x+2y)(x-9y)ということになります。

$9a^2-24ab+16b^2$

最初と最後の項がある数の2乗になっていたら、係数が奇数になっている項の係数のプラス平方根と係数が偶数になっている項の半分を掛けたものが２番目の項の係数になっているときは$(\mathrm{最}\mathrm{初}\mathrm{の}\mathrm{項}\mathrm{の}\mathrm{平}\mathrm{方}\mathrm{根}\pm \mathrm{最}\mathrm{後}\mathrm{の}\mathrm{項}\mathrm{の}\mathrm{平}\mathrm{方}\mathrm{根}{)}^2$の型に因数分解できます。

なお、$\pm$は２番目の項の±に依存します。

最初の項の係数のプラス平方根は3、最後の項の係数の半分は8で$3\times 8=24$で２番目の項の係数の絶対値24に一致します。

即ち、

与式$=(3a-4b{)}^2$

$a(x-3y)+b(3y-x)$

$+b(3y-x)$の$b$と$(3y-x)$両方に$-1$を掛けます。

$-1\times -1=1$で式の値が変わりませんからこんな芸当ができます。

$=a(x-3y)-b(x-3y)$

$=(a-b)(x-3y)$

10-5-2はいくらでしょう。

A君は前から順番に計算して答えが3になりました。

B君は5-2=3を計算して3を10から引いて答えが7になりました。

中学生のC君は-5-2=-7を計算して10から7を引いて答えが3になりました。

B君だけが間違えていますが、敗因はどこでしょう。

それは-5-2を計算しないで、5-2を計算してしまったことです。

これは10-(5-2)を計算したことになります。

10-(5-2)=10-5+2≠10-5-2ですからね。

全体を見渡して、10,100,1000などの組み合わせが見つかったら、それを始めに計算すると計算が簡単になります。

他にも、

125×59×8=125×8×59=5900

などがあります。

いいえちがいます。

例えば、$\sqrt{1}=1,\sqrt{4}=2$ですから、$\sqrt{1}+\sqrt{4}=1+2=3$です。一方、$\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\mathrm{は}2.236\dots .$ですから、$\sqrt{1}+\sqrt{4}=\sqrt{5}$は成り立ちません。したがって、$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$も成立しないのです。

三角形の高さを三平方で求める。

AからBCに垂線を下ろし交点をDとする。
$AD=x,BD=y,DC=a-y$とすると、

$c^2-y^2=b^2-(a-y{)}^2$

$c^2-y^2=b^2-a^2+2ay-y^2$

$2ay=a^2-b^2+c^2$

${\displaystyle y=\frac{a^2-b^2+c^2}{2a}}$

二次方程式と一次方程式の連立方程式の解の和は$-{\displaystyle \frac{x\mathrm{の}\mathrm{係}\mathrm{数}}{x^2\mathrm{の}\mathrm{係}\mathrm{数}}}$で求めることができます。

$\mathrm{例}\mathrm{え}\mathrm{ば}、y={\displaystyle \frac{1}{3}{x}^2\mathrm{と}y=x+6\mathrm{の}\mathrm{連}\mathrm{立}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{式}y={\displaystyle \frac{1}{3}{x}^2-x-6=0\mathrm{の}\mathrm{場}\mathrm{合}、\mathrm{解}\mathrm{の}\mathrm{和}\mathrm{は}-{\displaystyle \frac{-1}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}=3}}}$です。

$y={\displaystyle \frac{1}{3}{x}^2\mathrm{と}\mathrm{連}\mathrm{立}\mathrm{を}\mathrm{組}\mathrm{む}\mathrm{一}\mathrm{次}\mathrm{式}\mathrm{の}\mathrm{傾}\mathrm{き}\mathrm{が}\mathrm{変}\mathrm{わ}\mathrm{ら}\mathrm{な}\mathrm{い}\mathrm{場}\mathrm{合}\mathrm{①}、\mathrm{切}\mathrm{片}\mathrm{の}\mathrm{値}\mathrm{が}\mathrm{変}\mathrm{わ}\mathrm{っ}\mathrm{た}\mathrm{と}\mathrm{し}\mathrm{て}\mathrm{も}-{\displaystyle \frac{x\mathrm{の}\mathrm{係}\mathrm{数}}{x^2\mathrm{の}\mathrm{係}\mathrm{数}}\mathrm{の}\mathrm{値}\mathrm{は}\mathrm{変}\mathrm{わ}\mathrm{り}\mathrm{ま}\mathrm{せ}\mathrm{ん}。}}$

$\mathrm{そ}\mathrm{し}\mathrm{て}、\mathrm{仮}\mathrm{に}\mathrm{①}\mathrm{が}\mathrm{原}\mathrm{点}\mathrm{を}\mathrm{通}\mathrm{る}\mathrm{の}\mathrm{で}\mathrm{あ}\mathrm{れ}\mathrm{ば}、\mathrm{和}\mathrm{が}３\mathrm{で}\mathrm{す}\mathrm{か}\mathrm{ら}\mathrm{交}\mathrm{点}\mathrm{の}x\mathrm{座}\mathrm{標}\mathrm{は}\mathrm{瞬}\mathrm{時}\mathrm{に}３\mathrm{と}\mathrm{わ}\mathrm{か}\mathrm{り}\mathrm{ま}\mathrm{す}。$

詳しいことを知りたければ「解と係数の関係」で検索してください。

以下なぜか、説明します。

$y=a{x}^2$と$y=bx+c$の交点の$x$座標は$a{x}^2-bx-c=0$の解です。

$x={\displaystyle \frac{b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

$\mathrm{二}\mathrm{つ}\mathrm{の}\mathrm{解}\mathrm{を}\mathrm{た}\mathrm{す}\mathrm{と}\mathrm{ル}\mathrm{ー}\mathrm{ト}\mathrm{が}\mathrm{消}\mathrm{え}\mathrm{て}{\displaystyle \frac{b}{a}}$になります。

また、$y=a{x}^2$と$y=bx+d$の交点の$x$座標は$a{x}^2-bx-d=0$の解です。

$x={\displaystyle \frac{b\pm \sqrt{b^2-4ad}}{2a}}$

$\mathrm{こ}\mathrm{ち}\mathrm{ら}\mathrm{も}\mathrm{二}\mathrm{つ}\mathrm{の}\mathrm{解}\mathrm{を}\mathrm{た}\mathrm{す}\mathrm{と}{\displaystyle \frac{b}{a}\mathrm{に}\mathrm{な}\mathrm{り}\mathrm{ま}\mathrm{す}。}$

これらのことから一般的に「A+B=C+D」ということができます。

$\mathrm{な}\mathrm{お}、a{x}^2+bx+c=0\mathrm{の}\mathrm{二}\mathrm{つ}\mathrm{の}\mathrm{解}\mathrm{を}\alpha ,\beta \mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と}\mathrm{次}\mathrm{の}\mathrm{等}\mathrm{式}\mathrm{が}\mathrm{成}\mathrm{り}\mathrm{立}\mathrm{ち}\mathrm{ま}\mathrm{す}。$

$a{x}^2+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=0$

解とは$x$の値ですから当然ですよね。

$\mathrm{で}、a(x-\alpha )(x-\beta )\mathrm{を}\mathrm{展}\mathrm{開}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と}a{x}^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta \mathrm{に}\mathrm{な}\mathrm{り}\mathrm{ま}\mathrm{す}\mathrm{か}\mathrm{ら}、$

$a{x}^2+bx+c=a{x}^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =a{x}^2-a(\alpha +\beta )x+a\alpha \beta =0\mathrm{で}\mathrm{す}。$

すなわち恒等式の性質からxの係数について$b=-a(\alpha +\beta )$が成り立ちますから、

$\alpha +\beta =-{\displaystyle \frac{b}{a}}$が成り立ち、解の和は$-{\displaystyle \frac{x\mathrm{の}\mathrm{係}\mathrm{数}}{x^2\mathrm{の}\mathrm{係}\mathrm{数}}}$で求められることがわかります。

$\mathrm{①}4\times (-2)\times (-10)=80$

掛け算割り算はマイナスの数で答えの正負が決まります。マイナスの数が奇数なら答えもマイナス、マイナスの数が偶数だったら答えはプラスです。

$\mathrm{②}(-9)÷3\times 3=-9$

割り算は掛け算に直して計算すると間違えにくい。先に3×３を計算してから-9で割るのは、(-9)÷3÷3を計算することになってしまいます。

$\mathrm{③}{\displaystyle \frac{7}{2}÷\frac{21}{8}=\frac{7\times 8}{2\times 21}=\frac{4}{3}}$

逆数に直さないで答えを出すには、${\displaystyle \frac{\mathrm{最}\mathrm{初}\mathrm{の}\mathrm{分}\mathrm{子}\times \mathrm{次}\mathrm{の}\mathrm{分}\mathrm{母}}{\mathrm{最}\mathrm{初}\mathrm{の}\mathrm{分}\mathrm{母}\times \mathrm{次}\mathrm{の}\mathrm{分}\mathrm{子}}}$と書き出して約分します。

$\mathrm{④}(-5{)}^2\times (-2^2)=25\times (-4)=-100$

$(-5{)}^2=(-5)\times (-5)、(-2^2)=(-2\times 2)\mathrm{の}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{で}\mathrm{す}。$

$\mathrm{⑤}({\displaystyle \frac{5}{6}-\frac{1}{3}\times 18=15-6=9}$

かける数がかけられる数の共通倍数のときはかっこの中を計算してからかけるのではなく、かける数をかけられる数に分配してかけた方が早いかもです。