月: 2019年4月

割り算をするときには、割られる数に割る数の逆数をかけますが、それはなぜでしょう？

例えば、6÷２＝３ですが、

${\displaystyle ６\times \frac{1}{2}}$

${\displaystyle ＝\frac{6}{1}\times \frac{1}{2}}$

${\displaystyle ＝\frac{6\times 1}{1\times 2}＝\frac{6}{2}＝３\mathrm{と}\mathrm{考}\mathrm{え}\mathrm{る}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{も}\mathrm{で}\mathrm{き}\mathrm{ま}\mathrm{す}。}$

÷2は2つに分けることです。

$\mathrm{中}\mathrm{学}\mathrm{数}\mathrm{学}\mathrm{で}\mathrm{は}、２\mathrm{つ}\mathrm{に}\mathrm{分}\mathrm{け}\mathrm{る}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{を}、$

$「{\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{に}\mathrm{す}\mathrm{る}（{\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{を}\mathrm{か}\mathrm{け}\mathrm{る}）」\mathrm{と}\mathrm{考}\mathrm{え}\mathrm{ま}\mathrm{す}。}}$

÷の記号は、真ん中の線の上に点が２つ上と下に乗っかっています。

上の点は割られる数、下の点は割る数を表しています。

$\mathrm{で}\mathrm{す}\mathrm{か}\mathrm{ら}、{\displaystyle \frac{6}{2}\mathrm{は}、}$

6を2で割る、6を2つに分けることを表しています。

もう少し複雑な問題を考えてみます。

${\displaystyle \frac{5}{7}÷\frac{11}{3}}$

$\mathrm{答}\mathrm{え}\mathrm{は}、\mathrm{上}\mathrm{で}\mathrm{お}\mathrm{話}\mathrm{し}\mathrm{し}\mathrm{た}\mathrm{よ}\mathrm{う}\mathrm{に}、$

$「{\displaystyle ÷\frac{11}{3}」\mathrm{を}\mathrm{逆}\mathrm{数}\mathrm{の}「\times \frac{3}{11}」」\mathrm{に}\mathrm{し}\mathrm{て}、}$

${\displaystyle \frac{5}{7}\times \frac{3}{11}}$

$={\displaystyle \frac{5\times 3}{7\times 11}}$

$={\displaystyle \frac{15}{77}}$

とすればいいのですが、

この問題を、数学的な言葉の定義ではなく、四則演算の観点から考えてみます。

$\mathrm{こ}\mathrm{の}\mathrm{答}\mathrm{え}\mathrm{を}x\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と}、$

${\displaystyle \frac{5}{7}÷\frac{11}{3}=x}$

$\mathrm{左}\mathrm{右}\mathrm{両}\mathrm{辺}\mathrm{に}{\displaystyle \frac{11}{3}\mathrm{を}\mathrm{か}\mathrm{け}\mathrm{て}、}$

（＝の右と左に同じ数をかけても＝が成り立つ性質を利用します）

${\displaystyle \frac{5}{7}\times \frac{11}{3}÷\frac{11}{3}=x\times \frac{11}{3}}$

$\mathrm{右}\mathrm{辺}\mathrm{の}{\displaystyle \frac{11}{3}÷\frac{11}{3}\mathrm{を}\mathrm{計}\mathrm{算}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と}、}$

同じ数どうしの割り算なので１になり、

${\displaystyle \frac{5}{7}=x\times \frac{11}{3}}$

と、簡単にできます。

$\mathrm{両}\mathrm{辺}\mathrm{に}{\displaystyle \frac{11}{3}\mathrm{の}\mathrm{逆}\mathrm{数}、{\displaystyle \frac{3}{11}\mathrm{を}\mathrm{か}\mathrm{け}\mathrm{る}\mathrm{と}、}}$

${\displaystyle \frac{5}{7}\times \frac{3}{11}=x\times \frac{11}{3}\times \frac{3}{11}}$

${\displaystyle \frac{5\times 3}{7\times 11}=x\times \frac{11\times 3}{3\times 11}}$

${\displaystyle \frac{15}{77}=x}$

右辺と左辺を取り換えて、

$x={\displaystyle \frac{15}{77}}$

以上のように、イコールの性質を利用した四則演算の観点からみても同じ結果になります。

実際に問題を解くときは、もちろん、割る数を逆数してかけると簡単だし、早く解けます。

分数のかけ算は、分子どうし、分母どうしのかけ算の結果が答えになります。

例えば、

${\displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{2}{5}}$

${\displaystyle =\frac{1\times 2}{3\times 5}}$

${\displaystyle =\frac{2}{15}}$

でも、一体なぜ、分子と分母どうしをかけるだけでいいのでしょうか？

${\displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{2}{5}\mathrm{は}、}$

=${\displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{1}{5}\times 2}$

に書き直すことができます。

$\mathrm{ま}\mathrm{ず}、{\displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{1}{5}\mathrm{を}\mathrm{考}\mathrm{え}\mathrm{て}\mathrm{み}\mathrm{ま}\mathrm{す}。}$

分子と分母どうしをかけるだけでいいなら、答えは、

${\displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{1}{5}＝\frac{1}{15}}$

になるはずです。

${\displaystyle \frac{1}{3}\mathrm{に}{\displaystyle \frac{1}{5}\mathrm{を}\mathrm{か}\mathrm{け}\mathrm{る}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{は}、}}$

${\displaystyle \frac{1}{3}\mathrm{を}5\mathrm{等}\mathrm{分}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と}\mathrm{い}\mathrm{う}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{で}\mathrm{す}\mathrm{か}\mathrm{ら}、\mathrm{答}\mathrm{え}\mathrm{の}{\displaystyle \frac{1}{15}}}$

$\mathrm{を}5\mathrm{回}\mathrm{た}\mathrm{し}\mathrm{た}\mathrm{ら}{\displaystyle \frac{1}{3}\mathrm{に}\mathrm{な}\mathrm{ら}\mathrm{な}\mathrm{け}\mathrm{れ}\mathrm{ば}\mathrm{い}\mathrm{け}\mathrm{ま}\mathrm{せ}\mathrm{ん}\mathrm{よ}\mathrm{ね}。}$

ほんとにそうなるか、検算してみましょう。

${\displaystyle \frac{1}{15}+\frac{1}{15}+\frac{1}{15}+\frac{1}{15}+\frac{1}{15}=\frac{1+1+1+1+1}{15}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}}$

なりましたね。

$\mathrm{次}\mathrm{に}、\mathrm{こ}\mathrm{の}{\displaystyle \frac{1}{15}\mathrm{に}２\mathrm{を}\mathrm{か}\mathrm{け}\mathrm{る}\mathrm{と}\mathrm{い}\mathrm{う}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{は}、}$

${\displaystyle \frac{1}{15}\mathrm{が}２\mathrm{つ}\mathrm{あ}\mathrm{る}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{で}\mathrm{す}\mathrm{か}\mathrm{ら}、}$

${\displaystyle \frac{1}{15}+\frac{1}{15}＝\frac{2}{15}\mathrm{で}\mathrm{す}。}$

これも同じく、最初から、

$２\mathrm{は}\mathrm{分}\mathrm{数}\mathrm{で}{\displaystyle \frac{2}{1}\mathrm{と}\mathrm{表}\mathrm{せ}\mathrm{ま}\mathrm{す}\mathrm{か}\mathrm{ら}、}$

${\displaystyle \frac{1}{15}\times \frac{2}{1}＝\frac{1\times 2}{15\times 1}＝\frac{2}{15}}$

とできるんです。

今日から新年号、そして新学期も始まりました。

今日から入学する中学1年生は3名。

新2年生５人、新3年生4人、小学生1人、高校生16人、大学生1名。

それぞれのゴールに向かって新しい一歩を踏み出しましょう。