すべて展開しないで解く問題

$(a^2+a+1+{\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{a^2})(a^2-2a+3-{\displaystyle \frac{4}{a}+\frac{5}{a^2})}}$を展開したときの$a$の係数を求めなさい。

降べきの順に並んでいることを確認し、掛けてxについての同類項になる項の和だけを計算します。

$a^2\cdot (-{\displaystyle \frac{4}{a})+a\cdot 3+1\cdot (-2a)+{\displaystyle \frac{1}{a}\cdot a^2}}$

$=-4a+3a-2a+x=-2a$

即ち、答えは$-2$