投稿者: mitsuru

中三で習う乗法公式

○、△、☆をそれぞれ文字または数とします。

$①(○+△)(○+☆)=○^2+(△+☆)×○+△×☆$

$(○+△)(○+☆)$

$=○^2+☆×○+△×○+△×☆$

$=○^2+(△+☆)×○+△×☆$

$２項目と３項目には係数が違う○についての同類項が表れ、$

$その係数は△と☆ですから(△+☆)×○とします。$

$②(○+△)^2=○^2+2×△×○+△^2$

$(○+△)^2$

$=(○+△)(○+△)$

$=○^2+△×○+△×○+△^2$

$=○^2+2×△×○+△^2$

$２項目と３項目にはどちらも係数△の○の同類項が表れますから係数を２倍して$

$2×△×○とします。$

$③(○+△)(○-△)=○^2-△^2$

$(○+△)(○-△)$

$=○^2-△×○+△×○-△^2$

$２項目と３項目に符号の異なる係数△の○についての同類項が表れますから$

$(-△+△)×○=0×○=0になり○の項がなくなります。$

文字式の展開

(2+3)(4+5)=(2+3)×(4+5)=5×9=45ですが

他の方法で計算できないか考えてみます。

4+5=aと考えると、

(2+3)(4+5)

=(2+3)×a

展開すると、こちらのページで説明したように、

=2a+3aです。

a=4+5でしたから、aの代わりに4+5を使うと、

2a+3a

=2×(4+5)+3(4+5)
=2×4+2×5+3×4+3×5

=8+10+12+15

=45と計算できます。

注目していただきたいのは、

(2+3)(4+5)=2×4+2×5+3×4+3×5と計算できることです。

数字でできた式なら、かっこ中数字を足した数をかければいいのですが、

(a+b)(c+d)などの文字式ではそれができません。

ちなみに,

(a+b)(c+d)を展開すると

ac+ad+bc+bd

になります。

因数分解と分配法則

畑にニンニクと玉ねぎを植えました。

どちらも一列当たり１５個ずつ植えて、

ニンニクは１３列、玉ねぎは１７列植えました。

ニンニクと玉ねぎは全部で何個植えたでしょうか？

１５×１３＋１５×１７＝１９５＋２５５＝４５０です。

計算が面倒だと思ったら次のように計算することもできます。

ニンニクも玉ねぎも一列当たり１５個ずつのかたまりを、

１３列＋１７列＝３０列ずつ植えましたから、

合わせて１５×（１３＋１７）＝１５×３０＝４５０個植えたことになります。

このことから、

１５×１３＋１５×１７＝１５×（１３＋１７）と計算できることがわかります。

掛け算の中に同じ数があったら（今の場合は１５）、

（その数）×（そのほかの数を足した数（今の場合は１３と１７）

で計算できることを知っていると計算が早くなることがあります。

また、イコールの右と左をひっくり返してのイコールは成り立ちますから

１５×（１３＋１７）＝１５×１３＋１５×１７ということもわかります。

かっこの外の数（今の場合は１５）をかっこの中の数（今の場合は１３と１７）それぞれにかけた数をたしたら答えがでます。

-(-2)かっこをはずしたら？

$例えば+(+2)は(+1)×(+2)と同じことですから$

$かっこを外すと+2になります。$

$かっこの前に数字がないときは１が省略されています。$

$+(-2)は(+1)×(-2)のことですからかっこを外すと-2になります。$

$-(+2)は(-1)×(+2)のことですからかっこを外すと-2になります。$

$-(-2)は(-1)×(-2)のことですからかっこを外すと+2になります。$

かける数がマイナスのときにどうしてプラスになったり

マイナスになったりするのかはこちらで説明しています。

プラス×マイナス＝ー,マイナス×マイナス＝＋なわけ

「マイナスをかける？！」

普通に考えて何言ってるのか意味わかりません。

私もわかりません。

でも、「等式の左辺右辺に同じ数をかけても等式は成り立つ」を使えば

マイナスをかけた後の答えがプラスマイナスのどちらかはわかります。

やってみましょう。

$5-3=2の右辺と左辺に+4をかけてみます。$

イコールの右と左に同じ数をかけてもイコールは成り立ちまから、

$+4×5+4×(-3)=+4×2$

$20+4×(-3)=8$

$20を移項すると、$

$4×(-3)=8-20=-12です。$

このことからプラス×マイナス＝マイナスであることを認めざるを得ません。

またこのように考えてもいいと思います。

かけ算はかけられる数とかける数を入れ替えても答えは同じです。

$例えば、2×3=6, 3×2=6です。$

$つまり、4×(-3)のかける順序を入れ替えて(-3)×4とすると、$

$-3を4回たすので-3-3-3-3を計算することになりますから、$

$答えは-12です。$

$次にマイナス×マイナスを考えてみます。$

$5-3=2の=の右と左に今度は-4をかけてみます。$

$-4×5-4×(-3)=-4×2$

$-20-4×(-3)=-8$

$-20を移項すると、$

$-4×(-3)=-4×2+20=-8+20=12$

このことからマイナス×マイナス＝プラスになることがわかります。

生徒質問　数列 格子点

$上図と脚注から、y=1からy=nまでの間に存在する格子点の数は$

$\displaystyle \sum_{k=1}^n (4k-3)$

$=4\cdot\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}-3n$

$=2n^2-n-①$

$y=-1からy=-nまでの間にも同数が存在する。-②$

$また、y=0上には2n+2n+1（原点）=4n+1の格子点がある。-③$

$即ち、①②③から|x|+|2y|≦2nを満たす格子点の総数は、$

$2(2n^2-n)+4n+1$

$=4n^2+2n+1$

$※なお、前問はn=2のときであるから、$

$格子点は4\cdot 2^2+2\cdot 2+1=21$

二次関数のグラフがx軸から切り取る部分の長さ

$かかる長さはx軸との交点（=二つの解）間の距離である。$

$y=ax^2+bx+cの場合、二つの解をα,βとすると、$

$|α-β|=\sqrt{(α-β)^2}$

$=\sqrt{(α+β)^2-4αβ}$

$=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{b^2}{a^2}-\displaystyle\frac{4c}{a}}$

$=\displaystyle\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}$

$=\displaystyle\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$

別解

$解の公式での解　\displaystyle\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}から$

$\displaystyle\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\displaystyle\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$=\displaystyle\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$

$上のグラフは(x-2)(x-5)=x^2-7x+10であるから$

$\displaystyle\frac{\sqrt{7^2-4\cdot1\cdot10}}{1}=3$

二次関数グラフの平行移動

$f(x)=y=x^2+2x+3をx軸の方向に５平行移動すると$

$g(x)=y=(x-5)^2+2(x-5)+3になる。$

なぜか？

考え方１

$移動先g(x)上の任意の点(x,y)をx軸に-5平行移動した点は$

$(x-5,y)であり、この点はf(x)上の点でもある。$

$グラフ上の任意の点はそのグラフの方程式を満たすから、$

$f(x)の方程式のxに(x-5)を代入するとy=(x-5)^2+2(x-5)+3が成り立つ。$

考え方２

$例えば、f(x)上の点(0,3)はx軸方向へ5平行移動したものであるから$

$移動先のg(x)上では(5,3)である。$

$xの値が5増えてもyは3を維持している。$

$x=5のときx^2とxの項の値が0になるように立式するとyの値は3を維持できる。$

$即ち、x^2乗の項を(x-5)x^2、xの項を2(x-5)にすることでx=5のとき$

$これら２つの項は0になりy=0となる。$