2次関数と1次関数の交点

二次方程式と一次方程式の連立方程式の解の和は$-\displaystyle \frac{xの係数}{x^2の係数}$で求めることができます。

$例えば、y=\displaystyle \frac{1} {3}x^2とy=x+6の連立方程式y=\displaystyle \frac{1} {3}x^2-x-6=0の場合、解の和は-\displaystyle \frac{-1}{ \displaystyle \frac{1} {3}}=3$です。

$y=\displaystyle \frac{1} {3}x^2と連立を組む一次式の傾きが変わらない場合①、切片の値が変わったとしても-\displaystyle \frac{xの係数}{x^2の係数}の値は変わりません。$

$そして、仮に①が原点を通るのであれば、和が3ですから交点のx座標は瞬時に3とわかります。$

詳しいことを知りたければ「解と係数の関係」で検索してください。

以下なぜか、説明します。

$y=ax^2$と$y=bx+c$の交点の$x$座標は$ax^2-bx-c=0$の解です。

$x=\displaystyle \frac{b±\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

$二つの解をたすとルートが消えて\displaystyle \frac{b}{a}$になります。

また、$y=ax^2$と$y=bx+d$の交点の$x$座標は$ax^2-bx-d=0$の解です。

$x=\displaystyle \frac{b±\sqrt{b^2-4ad} }{2a}$

$こちらも二つの解をたすと\displaystyle \frac{b}{a}になります。$

これらのことから一般的に「A+B=C+D」ということができます。

$なお、ax^2+bx+c=0の二つの解をα,βとすると次の等式が成り立ちます。$

$ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0$

解とは$x$の値ですから当然ですよね。

$で、a(x-α)(x-β)を展開するとa{x^2-(α+β)x+αβ}になりますから、$

$ax^2+bx+c=a{x^2-(α+β)x+αβ}=ax^2-a(α+β)x+aαβ=0です。$

すなわち恒等式の性質からxの係数について$b=-a(α+β)$が成り立ちますから、

$α+β=-\displaystyle \frac{b}{a}$が成り立ち、解の和は$-\displaystyle \frac{xの係数}{x^2の係数}$で求められることがわかります。

正負の乗除確認問題

$① 4×(-2)×(-10)=80$

掛け算割り算はマイナスの数で答えの正負が決まります。マイナスの数が奇数なら答えもマイナス、マイナスの数が偶数だったら答えはプラスです。

$②(-9)÷3×3=-9$

割り算は掛け算に直して計算すると間違えにくい。先に3×3を計算してから-9で割るのは、(-9)÷3÷3を計算することになってしまいます。

$③\displaystyle\frac{7}{2}÷\frac{21}{8}=\frac{7×8}{2×21}=\frac{4}{3}$

逆数に直さないで答えを出すには、$\displaystyle\frac{最初の分子×次の分母}{最初の分母×次の分子}$と書き出して約分します。

$④(-5)^2×(-2^2)=25×(-4)=-100$

$(-5)^2=(-5)×(-5)、(-2^2)=(-2×2)のことです。$

$⑤(\displaystyle\frac{5}{6}-\frac{1}{3}×18=15-6=9$

かける数がかけられる数の共通倍数のときはかっこの中を計算してからかけるのではなく、かける数をかけられる数に分配してかけた方が早いかもです。

展開公式$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$なわけ。

2+3、式の数字各々に5を掛けると、

2×5+3×5

でも、いちいち×5を2回繰り返すの面倒なので、

5(2+3)

と表す約束事になっています。

5と(の間には×が省略されています。

これらの約束事をうろ覚えにしていると勉強が先に進まないのでしっかり覚えることです。

同じように、2+3の式の数字各々に7をかけるときは7(2+3)と表します。

5(2+3)と7(2+3)をたしたものは、

2+3の式の数字各々に5と7をそれぞれかけることになりますが、

2×5+2×7+3×5+3×7と書き出すのは面倒なので

(2+3)(5+7)と表すことになっています。

即ち、

(2+3)(5+7)=2×5+2×7+3×5+3×7です。

2+3=5、5+7=12ですから、実際は5×12を計算すればいいのですが、

(a+b)(c+d)を計算するときはこの方法が生きてきます。

これを式を「展開する」といいます。

通分すべき問題を通分しないで解く

$\displaystyle\frac{(a-1)(a-2)}{3}-\frac{(a-1)(a-2)+5}{4}$

計算を通分で行うと計算が終わるまで分母を表示しないとならないので別の方法を紹介します。

まず、3と4の最小公倍数12を各項にかけます。

$4(a-1)(a-2)-3\lbrace(a-1)(a-2)+5\rbrace$

$=4(a-1)(a-2)-3(a-1)(a-2)-15$

$4(a-1)(a-2)-3(a-1)(a-2)$は同類項ですから、

$=(a-1)(a-2)-15$

展開して、

$=a^2-3a+2-15$

$=a^2-3a-13$

最初に12をかけたので、最後に12で割って答えにします。

$\displaystyle\frac{a^2-3a-13}{12}$

展開問題 $(x+y+z)(-x+y+z)-(x+y-z)(x-y+z)$

$-(x+y-z)(x-y+z)$の$-を+$に変え、$(x-y+z)$に$-1$をかけます。

カッコ内文字の順序を入れ替え、和と差の積(●+▲)(●-▲)の型に持ち込みます。

$=(y+z+x)(y+z-x)+(y-z+x)(y-z-x)$

$=(y+z)^2-x^2+(y-z)^2-x^2$

yzの項は消えてしまうので、2乗項だけが残ります。

$=-2x^2+2y^2+2z^2$

すべて展開しないで解く問題

$(a^2+a+1+\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2})(a^2-2a+3-\displaystyle\frac{4}{a}+\frac{5}{a^2})$を展開したときの$a$の係数を求めなさい。

降べきの順に並んでいることを確認し、掛けてxについての同類項になる項の和だけを計算します。

$a^2\cdot(-\displaystyle\frac{4}{a})+a\cdot3+1\cdot(-2a)+\displaystyle\frac{1}{a}\cdot a^2$

$=-4a+3a-2a+x=-2a$

即ち、答えは$-2$

解の公式導入

$ax^2+bx+c=0$

$a(x^2+\displaystyle\frac{b}{a}x)+c=0$

$a(x+\displaystyle\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c=0$

$a(x+\displaystyle\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a}$

両辺を$a$で割り、

$(x+\displaystyle\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

両辺の平方根をとり、

$(x+\displaystyle\frac{b}{2a})=±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=-\displaystyle\frac{b}{2a}±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\displaystyle\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$