割り算するとき、なぜ逆数をかける?

割り算をするときには、割られる数に割る数の逆数をかけますが、それはなぜでしょう?

例えば、6÷2=3ですが、

$\displaystyle 6×\frac{ 1 }{ 2 }$

$\displaystyle =\frac{ 6 }{ 1 }× \frac{ 1 }{ 2 }$

$\displaystyle = \frac{ 6×1 }{ 1×2 }= \frac{ 6 }{ 2 }=3と考えることもできます。$

÷2は2つに分けることです。

$中学数学では、2つに分けることを、$

$「\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }にする(\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }をかける)」と考えます。$

÷の記号は、真ん中の線の上に点が2つ上と下に乗っかっています。

上の点は割られる数、下の点は割る数を表しています。

$ですから、\displaystyle \frac{ 6 }{ 2 }は、$

6を2で割る、6を2つに分けることを表しています。

もう少し複雑な問題を考えてみます。

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }÷ \frac{ 11 }{ 3 }$

$答えは、上でお話ししたように、$

$「\displaystyle÷\frac{ 11 }{ 3 }」を逆数の「×\frac{ 3 }{ 11}」」にして、$

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }×\frac{ 3 }{ 11}$

$=\displaystyle \frac{ 5×3 }{ 7×11 }$

$=\displaystyle \frac{ 15 }{ 77}$

とすればいいのですが、

この問題を、数学的な言葉の定義ではなく、四則演算の観点から考えてみます。

$この答えをxとすると、$

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }÷ \frac{ 11 }{ 3 }=x$

$左右両辺に\displaystyle \frac{ 11 }{ 3 }をかけて、$

(=の右と左に同じ数をかけても=が成り立つ性質を利用します)

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }× \frac{ 11 }{ 3 }÷ \frac{ 11 }{ 3 }=x× \frac{ 11 }{ 3 }$

$右辺の\displaystyle \frac{ 11 }{ 3 }÷ \frac{ 11 }{ 3 }を計算すると、$

同じ数どうしの割り算なので1になり、

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }=x× \frac{ 11 }{ 3 }$

と、簡単にできます。

$両辺に \displaystyle \frac{ 11 }{ 3 }の逆数、\displaystyle  \frac{ 3 }{ 11 }をかけると、$

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }× \frac{ 3 }{ 11 }=x× \frac{ 11 }{ 3 }× \frac{ 3 }{ 11 }$

$\displaystyle \frac{ 5×3 }{ 7×11 }=x× \frac{ 11×3 }{ 3×11 }$

$\displaystyle \frac{ 15 }{77 }=x$

右辺と左辺を取り換えて、

$x=\displaystyle \frac{ 15 }{77 }$

以上のように、イコールの性質を利用した四則演算の観点からみても同じ結果になります。

実際に問題を解くときは、もちろん、割る数を逆数してかけると簡単だし、早く解けます。

分数のかけ算

分数のかけ算は、分子どうし、分母どうしのかけ算の結果が答えになります。

例えば、

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }  \times \frac{ 2 }{ 5 }$

$\displaystyle=\frac{ 1×2 }{ 3×5 } $

$\displaystyle=\frac{ 2 }{ 15 } $

でも、一体なぜ、分子と分母どうしをかけるだけでいいのでしょうか?

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }  \times \frac{ 2 }{ 5 } は、$

=$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }  \times \frac{ 1 }{ 5 }  \times 2$

に書き直すことができます。

$まず、\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }  \times \frac{ 1 }{ 5 }を考えてみます。$

分子と分母どうしをかけるだけでいいなら、答えは、

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }  \times \frac{ 1 }{ 5 }=\frac{ 1 }{ 15 }$

になるはずです。

$\displaystyle  \frac{ 1 }{ 3 } に\displaystyle\frac{ 1 }{ 5 }をかけることは、$

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }を5等分するということですから、答えの\displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }$

$ を5回たしたら\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }にならなければいけませんよね。$

ほんとにそうなるか、検算してみましょう。

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }+\frac{ 1 }{ 15 }+\frac{ 1 }{ 15 }+\frac{ 1 }{ 15 }+\frac{ 1 }{ 15 }=\frac{ 1+1+1+1+1 }{ 15 }=\frac{ 5 }{ 15 }=\frac{ 1 }{ 3 }$

なりましたね。

$次に、この\displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }に2をかけるということは、$

$ \displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }が2つあることですから、$

$ \displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }+\frac{ 1 }{ 15 }=\frac{ 2 }{ 15 }です。$

これも同じく、最初から、

$ 2は分数で\displaystyle \frac{ 2 }{ 1 }と表せますから、$

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }×\frac{ 2 }{ 1 }=\frac{ 1×2 }{ 15 ×1}=\frac{ 2 }{ 15 }$

とできるんです。

今日から新年号、そして新学期も始まりました。

今日から入学する中学1年生は3名。

新2年生5人、新3年生4人、小学生1人、高校生16人、大学生1名。

それぞれのゴールに向かって新しい一歩を踏み出しましょう。

新1年生が2人

昨日、中学新1年生が2人、塾に入りたいということで訪ねてくれました。

これで、新1年生は3人になりました。

みなさん、算数が苦手ということでしたから、

まずは、小学校で習う基礎から始めたいと思っています。

近ごろは、1年生から入学する生徒がだんだん増えてきました。

早い時期から来ていただくと、時間をかけてゆっくり教えることができるので理解が深まっていくと思います。

明後日他県へ

明後日進学のため他県へ行く方がいます。

今日は最後の授業でした。

別れ際に、「先生、ネットを介してこれからも教えてください」

と言われ、うれしかったです。

さあ、がんばって早々に準1とってしまいましょう!

 

編入で教養大学

今、国際教養大学に編入で入学したいという方に英語を教えています。

今の英検レベルは2級の中。

早く準1をとって自信をつけてもらいたいです。

一生懸命な方なので塾休みにも勉強をみています。

結果を出せるように頑張ってほしいです。

新中1生と面接

今度中学生になるお子さんと面接をしました。

英検は既に5級を持っているそうで、すごいなと思いました。

数学が苦手なので教えてくださいとのことでした。

早い時期から始めるのは後々いい結果になると思います。

楽しい1年になりそうです。

入試の結果から学んだこと

第一志望校に合格した生徒の比率が5割を切ってしまった、今年の入試結果を踏まえて、高校生への接し方を変えようと思っています。

いままで、高校生の時間は質疑応答の寺子屋式でしたが、これからはセンター試験の過去問(英数国)を解説しながら、半強制的に受験勉強が滞らないように監視しないとダメだなと思うようになりました。

ふだんの勉強でわからないところは、日曜日に中高いっしょの時間を作って、ここで質問させたり、ネット経由で質問させるようにしようと考えています。

 

3月10日卒業式挙行

3月10日は卒業式でした。

卒業する高三生8名中6名の出席がありました。

今年の卒業生で第一志望校に合格できたのは3人。

狭き門を潜り抜けようとした勇者のほとんどは、捲土重来を期して浪人するようです。

まあ、火付け役責任の一端は私にもありますが…..

あの時ああしてればよかったのになあ。。。

あの時ああしててよかったなあ。。。。

浪人は長い人生の八十分の一、後悔の念は一生もの。

何か事あるごとにねちっこく脳裏をよぎります。

東京落ちて早43年、

浪人してりゃよかったのに!

この時期になると、なりをひそめていた心の声が駄々っ子のようにグダグダまとわりつきます(笑)

 

二項係数

${}_n \mathrm{ C }_r={}_n \mathrm{ C }_{n-r}$

${}_n \mathrm{ C }_r={}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1}+{}_{n-1} \mathrm{ C }_r$

証明

$ {}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1}= \frac{ (n-1)!}{ (r-1)!(n-1-r+1)! }= \frac{ (n-1)!}{ (r-1)!(n-r)! }$

$= \frac{ (n-1)(n-2)・・・\lbrace n-(r-1) \rbrace(n-r)!}{ (r-1)!(n-r)! }= \frac{ (n-1)(n-2)・・・\lbrace n-(r-1) \rbrace}{ (r-1)! }$

${}_{n-1} \mathrm{ C }_r= \frac{ (n-1)!}{ r!(n-r-1)! }= \frac{ (n-1)(n-2)・・・(n-r)\lbrace n-(r+1) \rbrace!}{ r!\lbrace n-(r+1) \rbrace! }$

$=\frac{ (n-1)(n-2)・・・(n-r)}{ r! }$

よって、

${}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1}+{}_{n-1} \mathrm{ C }_r$

$= \frac{ (n-1)(n-2)・・・\lbrace n-(r-1) \rbrace}{ (r-1)! }+\frac{ (n-1)(n-2)・・・(n-r)}{ r! }$

$= \frac{ r!(n-1)(n-2)・・・\lbrace n-(r-1) \rbrace+(r-1)!(n-1)・・・\lbrace n-(r-1) \rbrace(n-r)!}{ r!(r-1)! }$

$= \frac{ (r-1)!(n-1)(n-2)・・・\lbrace n-(r-1) \rbrace\lbrace r+(n-r) \rbrace}{ r!(r-1)! }$

$= \frac{ n(n-1)(n-2)・・・\lbrace n-(r-1) \rbrace}{ r! }$

$= \frac{ n(n-1)(n-2)・・・\lbrace n-(r-1) \rbrace(n-r)!}{ r!(n-r)! }$

$= \frac{ n!}{ r!(n-r)! }$

$= {}_n \mathrm{ C }_r$