二次不等式$ax^2+2ax+1<0$が実数解をもたないとき、定数$a$の値の範囲を求めよ。
わかりにくい言い回しですが、出題者の意図するところは、
$ax^2+2ax+1$の値が負のときには実数解が存在しない。
つまり、
$ax^2+2ax+1$の値が負のときは$ax^2+2ax+1$の値に対応するxが存在しない。
$y=ax^2+2ax+1$のグラフのイメージで考えれば、
「負の$y$の値に対応するxは存在しない。」－A
ということです。
また、
命題と対偶の真偽は一致しますから、この命題の対偶を考えて、
「解（=$x$)が存在するのは$ax^2+2ax+1≧0$の範囲である。」－B
と考えることもできます。
①④⑤⑥は負の$y$に対応するxが存在します。
一方、②③は負の$y$に対応するxが存在します。
これにより、上記$A,B$を叶えるのは②と③だけですから、
この条件を満たす$a$の範囲を求めればいいわけです。
②の条件を満たすのは
$ax^2+2ax+1$の判別式Dの値が$0$のとき、
③の条件を満たすのは
$ax^2+2ax+1$の判別式Dの値が$0$より小さいのときですから、
二つまとめて、
$D=(2a)^2-4a≦0$をみたす$a$の範囲を求めます。
$4a^2-4a≦0$
$a^2-a≦0$
$a(a-1)≦0$
$0≦a≦1$
ただし、$a=0$のとき、$ax^2+2ax+1=1＜0$となり不等式が成り立ちません。
したがって答えは$0＜a≦1$です。