月: 2025年12月

$かかる長さはx軸との交点（=二つの解）間の距離である。$

$y=ax^2+bx+cの場合、二つの解をα,βとすると、$

$|α-β|=\sqrt{(α-β)^2}$

$=\sqrt{(α+β)^2-4αβ}$

$=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{b^2}{a^2}-\displaystyle\frac{4c}{a}}$

$=\displaystyle\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}$

$=\displaystyle\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$

別解

$解の公式での解　\displaystyle\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}から$

$\displaystyle\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\displaystyle\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$=\displaystyle\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$

$上のグラフは(x-2)(x-5)=x^2-7x+10であるから$

$\displaystyle\frac{\sqrt{7^2-4\cdot1\cdot10}}{1}=3$

１（１）

$f(x)=y=x^2-2x+26-①$のグラフを原点に関して対称移動したグラフを$g(x)$、$f(x)$上の任意の座標を$(X,Y)$、$(X,Y)$を原点に関して対称移動した$g(x)$上の座標を$(x,y)$とする。

座標を原点に対して対称移動すると符号が入れ替わるので、$x=-X, y=-Y$であるが、$X=-x, Y=-y$と表すこともできる。

ここで、$(X,Y)$は$f(x)$上の座標であることから、$(X,Y)$の代わりに$(-x,-y)$を①の式に代入しても等式は成り立つ。

即ち$-y=(-x)^2-2(-x)+26$。

整理して、$g(x)=y=-x^2-2x-26$

別解

$f(x)=y=x^2-2x+26=(x-1)^2+25$であるから頂点は$(1,25)$であり原点について対称移動すると$(-1,-25)$。

$(-1,-25)$を頂点とし、$x^2$の係数が$-1$であるグラフは、$y=-(x+1)^2-25=-x^2-2x-26$

（２）

$g(x)$を$x$軸方向に$\displaystyle-\frac{1}{2}$移動したグラフを$h(x)$、$g(x)$上の任意の座標を$(X,Y)$、$(X,Y)$を$x$軸方向に$\displaystyle-\frac{1}{2}$移動した$h(x)$上の座標を$(x,y)$とする。

$X-\displaystyle\frac{1}{2}=x$より、$(X,Y)=(x+\displaystyle\frac{1}{2},y)$であり、$(X,Y)$は$g(x)$上の座標であるから、

$g(x+\displaystyle\frac{1}{2})=h(x)=-(x+\displaystyle\frac{1}{2})^2-2(x+\displaystyle\frac{1}{2})-26$が成り立つ。

整理して、$h(x)=-x^2-x-\displaystyle\frac{1}{4}-2x-1-26$

$=-x^2-3x-\displaystyle\frac{109}{4}$

別解

$移動先のグラフの任意の点を（x,y）とすると、$

$移動元の座標は(x+\displaystyle\frac{1}{2},y)である。$

この座標は、

$y=-x^2-2x-26$

上の座標であるから、

$y=-(x+\displaystyle\frac{1}{2})^2-2(x+\displaystyle\frac{1}{2})-26が成り立つ。$

$※グラフ上の任意の座標はそのグラフの方程式を満たす$

$（＝変数に代入すると等式が成り立つ）$

（３）

$I(x)=y=x^2+3x+12=(x+\displaystyle\frac{3}{2}x)^2+\displaystyle\frac{39}{4}$から最小値は$\displaystyle\frac{39}{4}$

また、$h(x)=y=-(x^2+3x)-\displaystyle\frac{109}{4}=-(x+\displaystyle\frac{3}{2})^2-25$から最大値は$-25$

$-25$と$\displaystyle\frac{39}{4}$の中点は$(-25+\displaystyle\frac{39}{4})×\displaystyle\frac{1}{2}$

$=-\displaystyle\frac{61}{8}=a$

２

軸が$x=2$である放物線は$y=a(x-2)^2+b$

したがって、$0=9a+b$かつ$10=4a+b$

∴　$a=-2, b=18, c=-2×4+18=10$

３

グラフは下に凸だから$f(0)$が最小値になるのは、軸$x=-\displaystyle\frac{a}{2}≦0、即ちa≦0$のとき。

$y=(x+1)^2-3=x^2+2x-2$

４

(1)

$f(x)=x^2-ax-a^2=(x-\displaystyle\frac{a}{2})^2-\displaystyle\frac{5a^2}{4}$ (0≦x≦4)

軸は$x=\displaystyle\frac{a}{2}$

$\displaystyle\frac{a}{2}<0$、即ちa<0のとき、最小値$f(0)=-a^2$

$0≦\displaystyle\frac{a}{2}≦4$のとき、即ち$0≦a≦8$のとき、$f(\displaystyle\frac{a}{2})=\displaystyle\frac{5a^2}{4}$

$\displaystyle\frac{a}{2}>4$、即ちa>8のとき、最小値$f(4)=-a^2-4a+16$

(2)

$\displaystyle-\frac{a}{2}<2$のとき、即ち$a>-4$のとき、最大値$f(4)=-a^2-4a+16$

$\displaystyle-\frac{a}{2}=2$のとき、即ち$a=-4$のとき、最大値$f(0)=f(4)=-16$

$\displaystyle-\frac{a}{2}>2$のとき、即ち$a<-4$のとき、最大値$f(0)=-a^2$

よって、与えられた条件から最大値が11になるのは$-a^2-4a+16=11$のとき。

$a^2+4a-5=0$を解いて$a=-5,1$

５

$3y^2=2-2x^2$

$y^2≧0であるから2-2x^2≧0より2(x-1)(x+1)≦0、即ち-1≦x≦1$

$x^2+x+3y^2$

$=x^2+x+(2-2x^2)$

$=-x^2+x+2$

$=-(x-\displaystyle\frac{1}{2})^2+\displaystyle\frac{9}{4}$

$x=\displaystyle\frac{1}{2}のとき最大値\displaystyle\frac{9}{4}$

$x=-1のとき最小値-1-1+2=0$]

６

$y=a(x^2-6x)+5a+6$

$=a(x-3)^2-4a+6$

題意より、

$-4a+6=-6$

$a=3$

このとき、$y=3x^2-18x+21$

$x軸との交点をα,βとするとα+β=6, αβ=7-①。$

このグラフがx軸から切り取る部分の長さは、

交点間の距離に等しく$\sqrt{(α-β)^2}$である。

$\sqrt{(α-β)^2}$

$=\sqrt{(α+β)^2-4αβ}$

$=\sqrt{6^2-4\cdot7}$

$=\sqrt{8}$

７

$x^2+2ax+6a=0の判別式はa^2-6a=a(a-6)$

$この方程式が実数解を持つのはa(a-6)≧0、即ちa≦0, a≧6のとき。-①$

$この方程式が実数解を持たないのはa(a-6)<0、即ち0<a<6のとき。-②$

$一方、x^2-2ax-5a+6=0の判別式はa^2+5a-6=(a+6)(a-1)$

$この方程式が実数解を持つのは(a+6)(a-1)≧0、$

$即ちa≦-6, a≧1のとき。-③$

$この方程式が実数解を持たないのは(a+6)(a-1)<0、$

$即ち-6<a<1のとき。-④$

どちらか一方だけが実数解をもつのは①かつ④または②かつ③のとき、

$即ち-6<a≦0, 1≦a<6のときである。$

８

$f(x)=x^2-2ax-aとすると、$

$①D>0, ②f(-1)>0, ③f(1)>0, ④-1<軸<1が同時に成り立つ。$

$なお、②③が成り立つ理由は、-1<x軸との交点<1だから。$

$D/4=a^2+a=a(a+1)>0からa<-1, a>0-①$

$f(-1)=1+2a-a=a+1>0からa>-1-②$

$f(1)=1-2a-a=-3a+1>0からa<\displaystyle\frac{1}{3}-③$

$-1<a<1-④$

$①②③④から、0<a<\displaystyle\frac{1}{3}$

９

傾きが１で、

$(5,0)を通る直線はy=x-5$

$(1,0)を通る直線はy=x-1$

$y=-x^2+6x-5とy=x+mが接する条件は、$

連立方程式の判別式が0になることであるから、

$-x^2+6x-5-x-m=-x^2+5x-5-m=0$

$x^2-5x+5+m=0よりD=25-20-4m=0$

$即ちこのときm=\displaystyle\frac{5}{4}$

$図から２点で交わるようなmの値は、$

$-5<m<-1, m>\displaystyle\frac{5}{4}$

１０

$方程式x^2-2ax-3a+4=0の解の一つが-1であることから、$

$1+2a-3a+4=0からa=5$

$このとき方程式はx^2-10x-11=0となる。$

$解と係数の関係から、-1+もう一つの解=10であり、$

イは11であることがわかる。

$f(x)=x^2-2ax-3a+4$とすると、

$f(x)≦0が解を持たないのはf(x)の最小値が0より大きいときであるから、$

$f(x)=(x-a)^2-a^2-3a+4から-a^2-3a+4>0$

$a^2+3a-4=(a+4)(a-1)<0、即ち-4<a<1のときである。$

$|x|≦1、即ち-1≦x≦1を満たす実数xがすべてf(x)≦0を満たすためには$

$-1≦x≦1がf(x)≦0を満たす解の内側に（境界線を含めて）$

$収まっているときであるから$

$f(-1)≦0, f(1)≦0のときである。$

$f(-1)=1+2a-3a+4=-a+5≦0よりa≧5-①$

$f(1)=1-2a-3a+4=-5a+5≦0よりa≧1-②$

$①②から5≦a $

仮定　∠ABD＝∠ACB, AD＝AE

BEを求めなさい。

$⊿ABD∽⊿ACB$（角についての仮定と∠BAD共通）より、

$AB:AC=12:18=2:3=AD:AB=AD:12$

このことから、AD=8=AE, CD=10$

また、$⊿ABE∽⊿BCD$より、

$AE:BD=8:(11+BE), BE:CD=BE:10$

このことから、$BE^2 +11BE-80=0$

$(BE-5)(BE+16)=0$

$BE>0$から$BE=5$