$x=\sqrt{5}+1,y=\sqrt{5}-1\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}{x}^2+y^2$の値を求めよ。

①直接代入して求める方法

$x^2+y^2=(\sqrt{5}+1{)}^2+(\sqrt{5}-1{)}^2$

$=5+2\sqrt{5}+1+5-2\sqrt{5}+1$

$=12$

②$x^2+y^2$は対称式ですから、$x+y,xy$で表すことができます。

対称式とは文字を入れ替えても同じ式になるものをいいます。

$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy$

今、$x+y=2\sqrt{5},xy=5-1=4$より、

与式$=20-8=12$