二点を通る１次関数

(1,2)と(5,6)を通る直線は、

傾きは${\displaystyle \frac{5-1}{6-2}=1}$

$x=1$のとき$y=2$ですから$y=(x-1)+2$

また、$x=5$のとき$y=6$ですから、$y=(x-5)+6$とも表すことができます。

$x$と$y$に値を代入して等式が成り立つような形に無理くりしてしまう…そんな感覚です。

そして、これらどちらも$y=x+1$になります。

一般に、

$(a,b)$と$(c,d)$を通る直線の式は、$y={\displaystyle \frac{d-b}{c-a}(x-a)+b}$または$y={\displaystyle \frac{b-d}{a-c}(x-c)+d}$と表すことができます。

また、$y={\displaystyle \frac{d-b}{c-a}x+A-\mathrm{①}}$とおき、$(a,b)$を代入すると、

$A=-{\displaystyle \frac{d-b}{c-a}a+b}$ですから、

①は$y={\displaystyle \frac{d-b}{c-a}x-{\displaystyle \frac{d-b}{c-a}a+b}}$

すなわち、$y={\displaystyle \frac{d-b}{c-a}(x-a)+b}$となります。