２次関数と１次関数の交点 – 秋田県鹿角市塾家庭教師　塾 Schule 満流儀　安保満

二次方程式と一次方程式の連立方程式の解の和は $- \frac{x の係数}{x^{2} の係数}$ で求めることができます。

$例えば、 y = \frac{1}{3} x^{2} と y = x + 6 の連立方程式 y = \frac{1}{3} x^{2} - x - 6 = 0 の場合、解の和は - \frac{- 1}{\frac{1}{3}} = 3$ です。

$y = \frac{1}{3} x^{2} と連立を組む一次式の傾きが変わらない場合 ① 、切片の値が変わったとしても - \frac{x の係数}{x^{2} の係数} の値は変わりません。$

$そして、仮に ① が原点を通るのであれば、和が３ですから交点の x 座標は瞬時に３とわかります。$

詳しいことを知りたければ「解と係数の関係」で検索してください。

以下なぜか、説明します。

$y = a x^{2}$ と $y = b x + c$ の交点の $x$ 座標は $a x^{2} - b x - c = 0$ の解です。

$x = \frac{b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$二つの解をたすとルートが消えて \frac{b}{a}$ になります。

また、 $y = a x^{2}$ と $y = b x + d$ の交点の $x$ 座標は $a x^{2} - b x - d = 0$ の解です。

$x = \frac{b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a d}}{2 a}$

$こちらも二つの解をたすと \frac{b}{a} になります。$

これらのことから一般的に「A+B=C+D」ということができます。

$なお、 a x^{2} + b x + c = 0 の二つの解を α, β とすると次の等式が成り立ちます。$

$a x^{2} + b x + c = a (x - α) (x - β) = 0$

解とは $x$ の値ですから当然ですよね。

$で、 a (x - α) (x - β) を展開すると a x^{2} - (α + β) x + α β になりますから、$

$a x^{2} + b x + c = a x^{2} - (α + β) x + α β = a x^{2} - a (α + β) x + a α β = 0 です。$

すなわち恒等式の性質からxの係数について $b = - a (α + β)$ が成り立ちますから、

$α + β = - \frac{b}{a}$ が成り立ち、解の和は $- \frac{x の係数}{x^{2} の係数}$ で求められることがわかります。