$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a b} なら \sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b} ?$

いいえちがいます。

例えば、 $\sqrt{1} = 1, \sqrt{4} = 2$ ですから、 $\sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$ です。一方、 $\sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} は 2.236 \dots .$ ですから、 $\sqrt{1} + \sqrt{4} = \sqrt{5}$ は成り立ちません。したがって、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b}$ も成立しないのです。