投稿者: mitsuru

割り算をするときには、割られる数に割る数の逆数をかけますが、それはなぜでしょう？

例えば、6÷２＝３ですが、

${\displaystyle ６\times \frac{1}{2}}$

${\displaystyle ＝\frac{6}{1}\times \frac{1}{2}}$

${\displaystyle ＝\frac{6\times 1}{1\times 2}＝\frac{6}{2}＝３\mathrm{と}\mathrm{考}\mathrm{え}\mathrm{る}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{も}\mathrm{で}\mathrm{き}\mathrm{ま}\mathrm{す}。}$

÷2は2つに分けることです。

$\mathrm{中}\mathrm{学}\mathrm{数}\mathrm{学}\mathrm{で}\mathrm{は}、２\mathrm{つ}\mathrm{に}\mathrm{分}\mathrm{け}\mathrm{る}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{を}、$

$「{\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{に}\mathrm{す}\mathrm{る}（{\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{を}\mathrm{か}\mathrm{け}\mathrm{る}）」\mathrm{と}\mathrm{考}\mathrm{え}\mathrm{ま}\mathrm{す}。}}$

÷の記号は、真ん中の線の上に点が２つ上と下に乗っかっています。

上の点は割られる数、下の点は割る数を表しています。

$\mathrm{で}\mathrm{す}\mathrm{か}\mathrm{ら}、{\displaystyle \frac{6}{2}\mathrm{は}、}$

6を2で割る、6を2つに分けることを表しています。

もう少し複雑な問題を考えてみます。

${\displaystyle \frac{5}{7}÷\frac{11}{3}}$

$\mathrm{答}\mathrm{え}\mathrm{は}、\mathrm{上}\mathrm{で}\mathrm{お}\mathrm{話}\mathrm{し}\mathrm{し}\mathrm{た}\mathrm{よ}\mathrm{う}\mathrm{に}、$

$「{\displaystyle ÷\frac{11}{3}」\mathrm{を}\mathrm{逆}\mathrm{数}\mathrm{の}「\times \frac{3}{11}」」\mathrm{に}\mathrm{し}\mathrm{て}、}$

${\displaystyle \frac{5}{7}\times \frac{3}{11}}$

$={\displaystyle \frac{5\times 3}{7\times 11}}$

$={\displaystyle \frac{15}{77}}$

とすればいいのですが、

この問題を、数学的な言葉の定義ではなく、四則演算の観点から考えてみます。

$\mathrm{こ}\mathrm{の}\mathrm{答}\mathrm{え}\mathrm{を}x\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と}、$

${\displaystyle \frac{5}{7}÷\frac{11}{3}=x}$

$\mathrm{左}\mathrm{右}\mathrm{両}\mathrm{辺}\mathrm{に}{\displaystyle \frac{11}{3}\mathrm{を}\mathrm{か}\mathrm{け}\mathrm{て}、}$

（＝の右と左に同じ数をかけても＝が成り立つ性質を利用します）

${\displaystyle \frac{5}{7}\times \frac{11}{3}÷\frac{11}{3}=x\times \frac{11}{3}}$

$\mathrm{右}\mathrm{辺}\mathrm{の}{\displaystyle \frac{11}{3}÷\frac{11}{3}\mathrm{を}\mathrm{計}\mathrm{算}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と}、}$

同じ数どうしの割り算なので１になり、

${\displaystyle \frac{5}{7}=x\times \frac{11}{3}}$

と、簡単にできます。

$\mathrm{両}\mathrm{辺}\mathrm{に}{\displaystyle \frac{11}{3}\mathrm{の}\mathrm{逆}\mathrm{数}、{\displaystyle \frac{3}{11}\mathrm{を}\mathrm{か}\mathrm{け}\mathrm{る}\mathrm{と}、}}$

${\displaystyle \frac{5}{7}\times \frac{3}{11}=x\times \frac{11}{3}\times \frac{3}{11}}$

${\displaystyle \frac{5\times 3}{7\times 11}=x\times \frac{11\times 3}{3\times 11}}$

${\displaystyle \frac{15}{77}=x}$

右辺と左辺を取り換えて、

$x={\displaystyle \frac{15}{77}}$

以上のように、イコールの性質を利用した四則演算の観点からみても同じ結果になります。

実際に問題を解くときは、もちろん、割る数を逆数してかけると簡単だし、早く解けます。

分数のかけ算は、分子どうし、分母どうしのかけ算の結果が答えになります。

例えば、

${\displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{2}{5}}$

${\displaystyle =\frac{1\times 2}{3\times 5}}$

${\displaystyle =\frac{2}{15}}$

でも、一体なぜ、分子と分母どうしをかけるだけでいいのでしょうか？

${\displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{2}{5}\mathrm{は}、}$

=${\displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{1}{5}\times 2}$

に書き直すことができます。

$\mathrm{ま}\mathrm{ず}、{\displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{1}{5}\mathrm{を}\mathrm{考}\mathrm{え}\mathrm{て}\mathrm{み}\mathrm{ま}\mathrm{す}。}$

分子と分母どうしをかけるだけでいいなら、答えは、

${\displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{1}{5}＝\frac{1}{15}}$

になるはずです。

${\displaystyle \frac{1}{3}\mathrm{に}{\displaystyle \frac{1}{5}\mathrm{を}\mathrm{か}\mathrm{け}\mathrm{る}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{は}、}}$

${\displaystyle \frac{1}{3}\mathrm{を}5\mathrm{等}\mathrm{分}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と}\mathrm{い}\mathrm{う}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{で}\mathrm{す}\mathrm{か}\mathrm{ら}、\mathrm{答}\mathrm{え}\mathrm{の}{\displaystyle \frac{1}{15}}}$

$\mathrm{を}5\mathrm{回}\mathrm{た}\mathrm{し}\mathrm{た}\mathrm{ら}{\displaystyle \frac{1}{3}\mathrm{に}\mathrm{な}\mathrm{ら}\mathrm{な}\mathrm{け}\mathrm{れ}\mathrm{ば}\mathrm{い}\mathrm{け}\mathrm{ま}\mathrm{せ}\mathrm{ん}\mathrm{よ}\mathrm{ね}。}$

ほんとにそうなるか、検算してみましょう。

${\displaystyle \frac{1}{15}+\frac{1}{15}+\frac{1}{15}+\frac{1}{15}+\frac{1}{15}=\frac{1+1+1+1+1}{15}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}}$

なりましたね。

$\mathrm{次}\mathrm{に}、\mathrm{こ}\mathrm{の}{\displaystyle \frac{1}{15}\mathrm{に}２\mathrm{を}\mathrm{か}\mathrm{け}\mathrm{る}\mathrm{と}\mathrm{い}\mathrm{う}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{は}、}$

${\displaystyle \frac{1}{15}\mathrm{が}２\mathrm{つ}\mathrm{あ}\mathrm{る}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{で}\mathrm{す}\mathrm{か}\mathrm{ら}、}$

${\displaystyle \frac{1}{15}+\frac{1}{15}＝\frac{2}{15}\mathrm{で}\mathrm{す}。}$

これも同じく、最初から、

$２\mathrm{は}\mathrm{分}\mathrm{数}\mathrm{で}{\displaystyle \frac{2}{1}\mathrm{と}\mathrm{表}\mathrm{せ}\mathrm{ま}\mathrm{す}\mathrm{か}\mathrm{ら}、}$

${\displaystyle \frac{1}{15}\times \frac{2}{1}＝\frac{1\times 2}{15\times 1}＝\frac{2}{15}}$

とできるんです。

今日から新年号、そして新学期も始まりました。

今日から入学する中学1年生は3名。

新2年生５人、新3年生4人、小学生1人、高校生16人、大学生1名。

それぞれのゴールに向かって新しい一歩を踏み出しましょう。

昨日、中学新1年生が2人、塾に入りたいということで訪ねてくれました。

これで、新1年生は3人になりました。

みなさん、算数が苦手ということでしたから、

まずは、小学校で習う基礎から始めたいと思っています。

近ごろは、1年生から入学する生徒がだんだん増えてきました。

早い時期から来ていただくと、時間をかけてゆっくり教えることができるので理解が深まっていくと思います。

明後日進学のため他県へ行く方がいます。

今日は最後の授業でした。

別れ際に、「先生、ネットを介してこれからも教えてください」

と言われ、うれしかったです。

さあ、がんばって早々に準1とってしまいましょう！

 

今、国際教養大学に編入で入学したいという方に英語を教えています。

今の英検レベルは２級の中。

早く準１をとって自信をつけてもらいたいです。

一生懸命な方なので塾休みにも勉強をみています。

結果を出せるように頑張ってほしいです。

今度中学生になるお子さんと面接をしました。

英検は既に５級を持っているそうで、すごいなと思いました。

数学が苦手なので教えてくださいとのことでした。

早い時期から始めるのは後々いい結果になると思います。

楽しい１年になりそうです。

${}_n{\mathrm{C}}_r={}_n{\mathrm{C}}_{n-r}$

${}_n{\mathrm{C}}_r={}_{n-1}{\mathrm{C}}_{r-1}+{}_{n-1}{\mathrm{C}}_r$

証明

${}_{n-1}{\mathrm{C}}_{r-1}=\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-1-r+1)!}=\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}$

$=\frac{(n-1)(n-2)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\{n-(r-1)\}(n-r)!}{(r-1)!(n-r)!}=\frac{(n-1)(n-2)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\{n-(r-1)\}}{(r-1)!}$

${}_{n-1}{\mathrm{C}}_r=\frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!}=\frac{(n-1)(n-2)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(n-r)\{n-(r+1)\}!}{r!\{n-(r+1)\}!}$

$=\frac{(n-1)(n-2)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(n-r)}{r!}$

よって、

${}_{n-1}{\mathrm{C}}_{r-1}+{}_{n-1}{\mathrm{C}}_r$

$=\frac{(n-1)(n-2)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\{n-(r-1)\}}{(r-1)!}+\frac{(n-1)(n-2)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(n-r)}{r!}$

$=\frac{r!(n-1)(n-2)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\{n-(r-1)\}+(r-1)!(n-1)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\{n-(r-1)\}(n-r)!}{r!(r-1)!}$

$=\frac{(r-1)!(n-1)(n-2)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\{n-(r-1)\}\{r+(n-r)\}}{r!(r-1)!}$

$=\frac{n(n-1)(n-2)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\{n-(r-1)\}}{r!}$

$=\frac{n(n-1)(n-2)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\{n-(r-1)\}(n-r)!}{r!(n-r)!}$

$=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

$={}_n{\mathrm{C}}_r$

直線AB、線分AB、半直線AB、AB//CD、∠ABC、垂線、AB⊥CD、中点、垂直二等分線、弧AB、弦、距離、角の二等分線の引き方、接点、接線、おうぎ形、中心角、～柱（同じ底面が２つ）、～錐（頂点が点）～には底面の形が入る、球、交線、ねじれの位置、母線、回転体、投影図、立面図（真横から見た図）、平面図（真上から見た図）、体積→底面積×高さ（柱）底面積×高さ÷３（錐）、表面積、側面積、底面積、おおぎ型の面積、球の体積と表面積

〇図形を、一定の方向に、一定の距離だけ動かす移動を平行移動という

〇平行移動では対応する点を結ぶ線分は平行で、その長さは等しい

〇図形を、ある点を中心として、一定の角度だけ回転させる移動を回転移動といい、中心とする点を回転の中心という

〇回転移動では、対応する点は回転の中心から等しい距離にあり、対応する点と回転の中心を結んでできる角の大きさはすべて等しい。

〇図形を180°だけ回転移動させることを点対象移動という（180°回転させて重なる図形を点対称な図形という）

〇図形を、ある直線を折目として折り返す移動を対象移動といい、折り目の直線を対象の軸という

〇対象移動では、対応する点を結ぶ線分は、対象の軸によって垂直に２等分される。

〇コンパスで書いた円の円周は、半径の長さで６等分できる

〇直線Ｌ上にない点Ｐを通りＬに垂直な線を引くやり方２通り

〇おうぎ形の弧の長さと面積は、中心角に比例する。

$〇\mathrm{半}\mathrm{径}r、\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{角}a°、\mathrm{弧}\mathrm{の}\mathrm{長}\mathrm{さ}l、\mathrm{面}\mathrm{積}Ｓ$

${\displaystyle l=2\pi ｒ\times \frac{a}{360}}$

${\displaystyle S=\pi r^2\times \frac{a}{360}}$

〇正多面体

どの面もすべて合同な正多角形である

どの頂点にも面が同じ数だけ集まっている

正四面体（正三角形）、正六面体（正方形）、正八面体（正三角形）、正十二面体（正五角形）、正二十面体（正三角形）

すべての面が正三角形である六面体は正多角形ではない。理由は？

面の数-辺の数+頂点の数＝２

〇平面Ｐと交わる直線Ｌが、その交点Ｏを通る二つの直線m,nに垂直であれば、直線Ｌは平面Ｐに垂直である