投稿者: mitsuru

$a{x}^2+bx+c=0$

$a(x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}x)+c=0}$

$a(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}{)}^2-\frac{b^2}{4a}+c=0}$

$a(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a}}$

両辺を$a$で割り、

$(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

両辺の平方根をとり、

$(x+{\displaystyle \frac{b}{2a})=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

$x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

(1,2)と(5,6)を通る直線は、

傾きは${\displaystyle \frac{5-1}{6-2}=1}$

$x=1$のとき$y=2$ですから$y=(x-1)+2$

また、$x=5$のとき$y=6$ですから、$y=(x-5)+6$とも表すことができます。

$x$と$y$に値を代入して等式が成り立つような形に無理くりしてしまう…そんな感覚です。

そして、これらどちらも$y=x+1$になります。

一般に、

$(a,b)$と$(c,d)$を通る直線の式は、$y={\displaystyle \frac{d-b}{c-a}(x-a)+b}$または$y={\displaystyle \frac{b-d}{a-c}(x-c)+d}$と表すことができます。

また、$y={\displaystyle \frac{d-b}{c-a}x+A-\mathrm{①}}$とおき、$(a,b)$を代入すると、

$A=-{\displaystyle \frac{d-b}{c-a}a+b}$ですから、

①は$y={\displaystyle \frac{d-b}{c-a}x-{\displaystyle \frac{d-b}{c-a}a+b}}$

すなわち、$y={\displaystyle \frac{d-b}{c-a}(x-a)+b}$となります。

$y=a{x}^2$でxの値がbからcに変化したときの変化の割合は

$a(b+c)$と表すことができます。

それはなぜかを説明します。

変化の割合は${\displaystyle \frac{y\mathrm{の}\mathrm{増}\mathrm{加}\mathrm{量}}{x\mathrm{の}\mathrm{増}\mathrm{加}\mathrm{量}}}$ですから、

上のケースの場合は、${\displaystyle \frac{a{c}^2-a{b}^2}{c-b}}$です。

${\displaystyle \frac{a{c}^2-a{b}^2}{c-b}}$

分母をaで括って、

${\displaystyle \frac{a(c^2-b^2)}{c-b}}$

$c^2-b^2$を因数分解して、

$={\displaystyle \frac{a(c-b)(c+b)}{c-b}}$

約分して、

$=a(c+b)$

数字が大きくなった時など、原理原則に立ち返りいちいちオーソドッククスに計算していたんでは余計に時間がかかったり、計算間違いにもなりかねません。

覚えおくといいと思います。

yの値域を求めることは、yの最小値と最大値を求めて最小値≦y≦最大値と表示することです。

$y=x^2$は上に凸の放物線ですから、$x=0$でyは最小値0、$x=3$でyは最大値9をとります。

したがって答えは0≦y≦9です。

$-2\leqq x\leqq 3$の表示につられてかどうかはわかりませんが、4≦y≦9としていまう生徒さんが多いので気をつけましょう。

正三角形の頂点AをDEを対象軸として折り曲げたら、なぜ△CEF∽△BFDのなるか？