投稿者: mitsuru

10-5-2はいくらでしょう。

A君は前から順番に計算して答えが3になりました。

B君は5-2=3を計算して3を10から引いて答えが7になりました。

中学生のC君は-5-2=-7を計算して10から7を引いて答えが3になりました。

B君だけが間違えていますが、敗因はどこでしょう。

それは-5-2を計算しないで、5-2を計算してしまったことです。

これは10-(5-2)を計算したことになります。

10-(5-2)=10-5+2≠10-5-2ですからね。

全体を見渡して、10,100,1000などの組み合わせが見つかったら、それを始めに計算すると計算が簡単になります。

他にも、

125×59×8=125×8×59=5900

などがあります。

いいえちがいます。

例えば、$\sqrt{1}=1,\sqrt{4}=2$ですから、$\sqrt{1}+\sqrt{4}=1+2=3$です。一方、$\sqrt{1+4}=\sqrt{5}は2.236….$ですから、$\sqrt{1}+\sqrt{4}=\sqrt{5}$は成り立ちません。したがって、$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$も成立しないのです。

三角形の高さを三平方で求める。

AからBCに垂線を下ろし交点をDとする。
$AD=x, BD=y, DC=a-y$とすると、

$c^2-y^2=b^2-(a-y)^2$

$c^2-y^2=b^2-a^2+2ay-y^2$

$2ay=a^2-b^2+c^2$

$ \displaystyle y= \frac{a^2-b^2+c^2}{2a}$

二次方程式と一次方程式の連立方程式の解の和は$-\displaystyle \frac{xの係数}{x^2の係数}$で求めることができます。

$例えば、y=\displaystyle \frac{1} {3}x^2とy=x+6の連立方程式y=\displaystyle \frac{1} {3}x^2-x-6=0の場合、解の和は-\displaystyle \frac{-1}{ \displaystyle \frac{1} {3}}=3$です。

$y=\displaystyle \frac{1} {3}x^2と連立を組む一次式の傾きが変わらない場合①、切片の値が変わったとしても-\displaystyle \frac{xの係数}{x^2の係数}の値は変わりません。$

$そして、仮に①が原点を通るのであれば、和が３ですから交点のx座標は瞬時に３とわかります。$

詳しいことを知りたければ「解と係数の関係」で検索してください。

以下なぜか、説明します。

$y=ax^2$と$y=bx+c$の交点の$x$座標は$ax^2-bx-c=0$の解です。

$x=\displaystyle \frac{b±\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

$二つの解をたすとルートが消えて\displaystyle \frac{b}{a}$になります。

また、$y=ax^2$と$y=bx+d$の交点の$x$座標は$ax^2-bx-d=0$の解です。

$x=\displaystyle \frac{b±\sqrt{b^2-4ad} }{2a}$

$こちらも二つの解をたすと\displaystyle \frac{b}{a}になります。$

これらのことから一般的に「A+B=C+D」ということができます。

$なお、ax^2+bx+c=0の二つの解をα,βとすると次の等式が成り立ちます。$

$ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0$

解とは$x$の値ですから当然ですよね。

$で、a(x-α)(x-β)を展開するとa{x^2-(α+β)x+αβ}になりますから、$

$ax^2+bx+c=a{x^2-(α+β)x+αβ}=ax^2-a(α+β)x+aαβ=0です。$

すなわち恒等式の性質からxの係数について$b=-a(α+β)$が成り立ちますから、

$α+β=-\displaystyle \frac{b}{a}$が成り立ち、解の和は$-\displaystyle \frac{xの係数}{x^2の係数}$で求められることがわかります。

$① 4×(-2)×(-10)=80$

掛け算割り算はマイナスの数で答えの正負が決まります。マイナスの数が奇数なら答えもマイナス、マイナスの数が偶数だったら答えはプラスです。

$②(-9)÷3×3=-9$

割り算は掛け算に直して計算すると間違えにくい。先に3×３を計算してから-9で割るのは、(-9)÷3÷3を計算することになってしまいます。

$③\displaystyle\frac{7}{2}÷\frac{21}{8}=\frac{7×8}{2×21}=\frac{4}{3}$

逆数に直さないで答えを出すには、$\displaystyle\frac{最初の分子×次の分母}{最初の分母×次の分子}$と書き出して約分します。

$④(-5)^2×(-2^2)=25×(-4)=-100$

$(-5)^2=(-5)×(-5)、(-2^2)=(-2×2)のことです。$

$⑤(\displaystyle\frac{5}{6}-\frac{1}{3}×18=15-6=9$

かける数がかけられる数の共通倍数のときはかっこの中を計算してからかけるのではなく、かける数をかけられる数に分配してかけた方が早いかもです。

2+3、式の数字各々に５を掛けると、

2×5+3×5

でも、いちいち×５を２回繰り返すの面倒なので、

5(2+3)

と表す約束事になっています。

５と(の間には×が省略されています。

これらの約束事をうろ覚えにしていると勉強が先に進まないのでしっかり覚えることです。

同じように、2+3の式の数字各々に7をかけるときは7(2+3)と表します。

5(2+3)と7(2+3)をたしたものは、

2+3の式の数字各々に5と7をそれぞれかけることになりますが、

2×5+2×7+3×5+3×7と書き出すのは面倒なので

(2+3)(5+7)と表すことになっています。

即ち、

(2+3)(5+7)=2×5+2×7+3×5+3×7です。

2+3=5、5+7=12ですから、実際は5×12を計算すればいいのですが、

(a+b)(c+d)を計算するときはこの方法が生きてきます。

これを式を「展開する」といいます。

$\displaystyle\frac{(a-1)(a-2)}{3}-\frac{(a-1)(a-2)+5}{4}$

計算を通分で行うと計算が終わるまで分母を表示しないとならないので別の方法を紹介します。

まず、３と４の最小公倍数12を各項にかけます。

$4(a-1)(a-2)-3\lbrace(a-1)(a-2)+5\rbrace$

$=4(a-1)(a-2)-3(a-1)(a-2)-15$

$4(a-1)(a-2)-3(a-1)(a-2)$は同類項ですから、

$=(a-1)(a-2)-15$

展開して、

$=a^2-3a+2-15$

$=a^2-3a-13$

最初に12をかけたので、最後に12で割って答えにします。

$\displaystyle\frac{a^2-3a-13}{12}$

かっこどおしの掛け算を先に済ませてから２乗します。

先の二つのかっこの積を片付けて、

$=\lbrace(a^2-1)(a^2+1)\rbrace^2$

３番目のかっことの積を計算します。

$=(a^4-1)^2$

最後に展開します。

$=a^8-2a^4+1$

$-(x+y-z)(x-y+z)$の$-を+$に変え、$(x-y+z)$に$-1$をかけます。

カッコ内文字の順序を入れ替え、和と差の積(●+▲)(●-▲)の型に持ち込みます。

$=(y+z+x)(y+z-x)+(y-z+x)(y-z-x)$

$=(y+z)^2-x^2+(y-z)^2-x^2$

yzの項は消えてしまうので、２乗項だけが残ります。

$=-2x^2+2y^2+2z^2$