投稿者: mitsuru

１（１）

$f(x)=y=x^2-2x+26-①$のグラフを原点に関して対称移動したグラフを$g(x)$、$f(x)$上の任意の座標を$(X,Y)$、$(X,Y)$を原点に関して対称移動した$g(x)$上の座標を$(x,y)$とする。

座標を原点に対して対称移動すると符号が入れ替わるので、$x=-X, y=-Y$であるが、$X=-x, Y=-y$と表すこともできる。

ここで、$(X,Y)$は$f(x)$上の座標であることから、$(X,Y)$の代わりに$(-x,-y)$を①の式に代入しても等式は成り立つ。

即ち$-y=(-x)^2-2(-x)+26$。

整理して、$g(x)=y=-x^2-2x-26$

別解

$f(x)=y=x^2-2x+26=(x-1)^2+25$であるから頂点は$(1,25)$であり原点について対称移動すると$(-1,-25)$。

$(-1,-25)$を頂点とし、$x^2$の係数が$-1$であるグラフは、$y=-(x+1)^2-25=-x^2-2x-26$

（２）

$g(x)$を$x$軸方向に$\displaystyle-\frac{1}{2}$移動したグラフを$h(x)$、$g(x)$上の任意の座標を$(X,Y)$、$(X,Y)$を$x$軸方向に$\displaystyle-\frac{1}{2}$移動した$h(x)$上の座標を$(x,y)$とする。

$X-\displaystyle\frac{1}{2}=x$より、$(X,Y)=(x+\displaystyle\frac{1}{2},y)$であり、$(X,Y)$は$g(x)$上の座標であるから、

$g(x+\displaystyle\frac{1}{2})=h(x)=-(x+\displaystyle\frac{1}{2})^2-2(x+\displaystyle\frac{1}{2})-26$が成り立つ。

整理して、$h(x)=-x^2-x-\displaystyle\frac{1}{4}-2x-1-26$

$=-x^2-3x-\displaystyle\frac{109}{4}$

別解

$移動先のグラフの任意の点を（x,y）とすると、$

$移動元の座標は(x+\displaystyle\frac{1}{2},y)である。$

この座標は、

$y=-x^2-2x-26$

上の座標であるから、

$y=-(x+\displaystyle\frac{1}{2})^2-2(x+\displaystyle\frac{1}{2})-26が成り立つ。$

$※グラフ上の任意の座標はそのグラフの方程式を満たす$

$（＝変数に代入すると等式が成り立つ）$

（３）

$I(x)=y=x^2+3x+12=(x+\displaystyle\frac{3}{2}x)^2+\displaystyle\frac{39}{4}$から最小値は$\displaystyle\frac{39}{4}$

また、$h(x)=y=-(x^2+3x)-\displaystyle\frac{109}{4}=-(x+\displaystyle\frac{3}{2})^2-25$から最大値は$-25$

$-25$と$\displaystyle\frac{39}{4}$の中点は$(-25+\displaystyle\frac{39}{4})×\displaystyle\frac{1}{2}$

$=-\displaystyle\frac{61}{8}=a$

２

軸が$x=2$である放物線は$y=a(x-2)^2+b$

したがって、$0=9a+b$かつ$10=4a+b$

∴　$a=-2, b=18, c=-2×4+18=10$

３

グラフは下に凸だから$f(0)$が最小値になるのは、軸$x=-\displaystyle\frac{a}{2}≦0、即ちa≦0$のとき。

$y=(x+1)^2-3=x^2+2x-2$

４

(1)

$f(x)=x^2-ax-a^2=(x-\displaystyle\frac{a}{2})^2-\displaystyle\frac{5a^2}{4}$ (0≦x≦4)

軸は$x=\displaystyle\frac{a}{2}$

$\displaystyle\frac{a}{2}<0$、即ちa<0のとき、最小値$f(0)=-a^2$

$0≦\displaystyle\frac{a}{2}≦4$のとき、即ち$0≦a≦8$のとき、$f(\displaystyle\frac{a}{2})=\displaystyle\frac{5a^2}{4}$

$\displaystyle\frac{a}{2}>4$、即ちa>8のとき、最小値$f(4)=-a^2-4a+16$

(2)

$\displaystyle-\frac{a}{2}<2$のとき、即ち$a>-4$のとき、最大値$f(4)=-a^2-4a+16$

$\displaystyle-\frac{a}{2}=2$のとき、即ち$a=-4$のとき、最大値$f(0)=f(4)=-16$

$\displaystyle-\frac{a}{2}>2$のとき、即ち$a<-4$のとき、最大値$f(0)=-a^2$

よって、与えられた条件から最大値が11になるのは$-a^2-4a+16=11$のとき。

$a^2+4a-5=0$を解いて$a=-5,1$

５

$3y^2=2-2x^2$

$y^2≧0であるから2-2x^2≧0より2(x-1)(x+1)≦0、即ち-1≦x≦1$

$x^2+x+3y^2$

$=x^2+x+(2-2x^2)$

$=-x^2+x+2$

$=-(x-\displaystyle\frac{1}{2})^2+\displaystyle\frac{9}{4}$

$x=\displaystyle\frac{1}{2}のとき最大値\displaystyle\frac{9}{4}$

$x=-1のとき最小値-1-1+2=0$]

６

$y=a(x^2-6x)+5a+6$

$=a(x-3)^2-4a+6$

題意より、

$-4a+6=-6$

$a=3$

このとき、$y=3x^2-18x+21$

$x軸との交点をα,βとするとα+β=6, αβ=7-①。$

このグラフがx軸から切り取る部分の長さは、

交点間の距離に等しく$\sqrt{(α-β)^2}$である。

$\sqrt{(α-β)^2}$

$=\sqrt{(α+β)^2-4αβ}$

$=\sqrt{6^2-4\cdot7}$

$=\sqrt{8}$

７

$x^2+2ax+6a=0の判別式はa^2-6a=a(a-6)$

$この方程式が実数解を持つのはa(a-6)≧0、即ちa≦0, a≧6のとき。-①$

$この方程式が実数解を持たないのはa(a-6)<0、即ち0<a<6のとき。-②$

$一方、x^2-2ax-5a+6=0の判別式はa^2+5a-6=(a+6)(a-1)$

$この方程式が実数解を持つのは(a+6)(a-1)≧0、$

$即ちa≦-6, a≧1のとき。-③$

$この方程式が実数解を持たないのは(a+6)(a-1)<0、$

$即ち-6<a<1のとき。-④$

どちらか一方だけが実数解をもつのは①かつ④または②かつ③のとき、

$即ち-6<a≦0, 1≦a<6のときである。$

８

$f(x)=x^2-2ax-aとすると、$

$①D>0, ②f(-1)>0, ③f(1)>0, ④-1<軸<1が同時に成り立つ。$

$なお、②③が成り立つ理由は、-1<x軸との交点<1だから。$

$D/4=a^2+a=a(a+1)>0からa<-1, a>0-①$

$f(-1)=1+2a-a=a+1>0からa>-1-②$

$f(1)=1-2a-a=-3a+1>0からa<\displaystyle\frac{1}{3}-③$

$-1<a<1-④$

$①②③④から、0<a<\displaystyle\frac{1}{3}$

９

傾きが１で、

$(5,0)を通る直線はy=x-5$

$(1,0)を通る直線はy=x-1$

$y=-x^2+6x-5とy=x+mが接する条件は、$

連立方程式の判別式が0になることであるから、

$-x^2+6x-5-x-m=-x^2+5x-5-m=0$

$x^2-5x+5+m=0よりD=25-20-4m=0$

$即ちこのときm=\displaystyle\frac{5}{4}$

$図から２点で交わるようなmの値は、$

$-5<m<-1, m>\displaystyle\frac{5}{4}$

１０

$方程式x^2-2ax-3a+4=0の解の一つが-1であることから、$

$1+2a-3a+4=0からa=5$

$このとき方程式はx^2-10x-11=0となる。$

$解と係数の関係から、-1+もう一つの解=10であり、$

イは11であることがわかる。

$f(x)=x^2-2ax-3a+4$とすると、

$f(x)≦0が解を持たないのはf(x)の最小値が0より大きいときであるから、$

$f(x)=(x-a)^2-a^2-3a+4から-a^2-3a+4>0$

$a^2+3a-4=(a+4)(a-1)<0、即ち-4<a<1のときである。$

$|x|≦1、即ち-1≦x≦1を満たす実数xがすべてf(x)≦0を満たすためには$

$-1≦x≦1がf(x)≦0を満たす解の内側に（境界線を含めて）$

$収まっているときであるから$

$f(-1)≦0, f(1)≦0のときである。$

$f(-1)=1+2a-3a+4=-a+5≦0よりa≧5-①$

$f(1)=1-2a-3a+4=-5a+5≦0よりa≧1-②$

$①②から5≦a $

仮定　∠ABD＝∠ACB, AD＝AE

BEを求めなさい。

$⊿ABD∽⊿ACB$（角についての仮定と∠BAD共通）より、

$AB:AC=12:18=2:3=AD:AB=AD:12$

このことから、AD=8=AE, CD=10$

また、$⊿ABE∽⊿BCD$より、

$AE:BD=8:(11+BE), BE:CD=BE:10$

このことから、$BE^2 +11BE-80=0$

$(BE-5)(BE+16)=0$

$BE>0$から$BE=5$

グラフが下に凸の場合です。上に凸の場合は最大値を最小値、最小値を最大値と読み替えます。

最大値

最大値は、軸と区間中点との位置関係で場合分けし、軸から最も離れた区間内のXの値に対応する Y の値を求める。

①　軸が区間中点の左側にある場合は、区間始点より終点の方が軸からより離れているため、区間終点のXの値に対応するYの値が最大値になる。

②　軸が区間中点と一致する場合は、軸からの距離が区間始点と終点双方とも同じであるからこれら双方のXの値に相当するYの値が最大値になる。

③　軸が区間中点の右側にある場合は、区間終点より始点の方が軸からより離れているため、区間始点のXの値のときのYの値が最大値になる。

最小値

最小値は、軸が区間に含まれるか否かで場合分けする。

①　軸が区間に含まれる場合は頂点のY座標が最小値である。

②　軸が区間外にある場合は軸に最も近い区間内の X の値に対応する Y 座標が最小値である。