投稿者: mitsuru

三角形の高さを三平方で求める。

AからBCに垂線を下ろし交点をDとする。
$AD=x,BD=y,DC=a-y$とすると、

$c^2-y^2=b^2-(a-y{)}^2$

$c^2-y^2=b^2-a^2+2ay-y^2$

$2ay=a^2-b^2+c^2$

${\displaystyle y=\frac{a^2-b^2+c^2}{2a}}$

二次方程式と一次方程式の連立方程式の解の和は$-{\displaystyle \frac{x\mathrm{の}\mathrm{係}\mathrm{数}}{x^2\mathrm{の}\mathrm{係}\mathrm{数}}}$で求めることができます。

$\mathrm{例}\mathrm{え}\mathrm{ば}、y={\displaystyle \frac{1}{3}{x}^2\mathrm{と}y=x+6\mathrm{の}\mathrm{連}\mathrm{立}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{式}y={\displaystyle \frac{1}{3}{x}^2-x-6=0\mathrm{の}\mathrm{場}\mathrm{合}、\mathrm{解}\mathrm{の}\mathrm{和}\mathrm{は}-{\displaystyle \frac{-1}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}=3}}}$です。

$y={\displaystyle \frac{1}{3}{x}^2\mathrm{と}\mathrm{連}\mathrm{立}\mathrm{を}\mathrm{組}\mathrm{む}\mathrm{一}\mathrm{次}\mathrm{式}\mathrm{の}\mathrm{傾}\mathrm{き}\mathrm{が}\mathrm{変}\mathrm{わ}\mathrm{ら}\mathrm{な}\mathrm{い}\mathrm{場}\mathrm{合}\mathrm{①}、\mathrm{切}\mathrm{片}\mathrm{の}\mathrm{値}\mathrm{が}\mathrm{変}\mathrm{わ}\mathrm{っ}\mathrm{た}\mathrm{と}\mathrm{し}\mathrm{て}\mathrm{も}-{\displaystyle \frac{x\mathrm{の}\mathrm{係}\mathrm{数}}{x^2\mathrm{の}\mathrm{係}\mathrm{数}}\mathrm{の}\mathrm{値}\mathrm{は}\mathrm{変}\mathrm{わ}\mathrm{り}\mathrm{ま}\mathrm{せ}\mathrm{ん}。}}$

$\mathrm{そ}\mathrm{し}\mathrm{て}、\mathrm{仮}\mathrm{に}\mathrm{①}\mathrm{が}\mathrm{原}\mathrm{点}\mathrm{を}\mathrm{通}\mathrm{る}\mathrm{の}\mathrm{で}\mathrm{あ}\mathrm{れ}\mathrm{ば}、\mathrm{和}\mathrm{が}３\mathrm{で}\mathrm{す}\mathrm{か}\mathrm{ら}\mathrm{交}\mathrm{点}\mathrm{の}x\mathrm{座}\mathrm{標}\mathrm{は}\mathrm{瞬}\mathrm{時}\mathrm{に}３\mathrm{と}\mathrm{わ}\mathrm{か}\mathrm{り}\mathrm{ま}\mathrm{す}。$

詳しいことを知りたければ「解と係数の関係」で検索してください。

以下なぜか、説明します。

$y=a{x}^2$と$y=bx+c$の交点の$x$座標は$a{x}^2-bx-c=0$の解です。

$x={\displaystyle \frac{b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

$\mathrm{二}\mathrm{つ}\mathrm{の}\mathrm{解}\mathrm{を}\mathrm{た}\mathrm{す}\mathrm{と}\mathrm{ル}\mathrm{ー}\mathrm{ト}\mathrm{が}\mathrm{消}\mathrm{え}\mathrm{て}{\displaystyle \frac{b}{a}}$になります。

また、$y=a{x}^2$と$y=bx+d$の交点の$x$座標は$a{x}^2-bx-d=0$の解です。

$x={\displaystyle \frac{b\pm \sqrt{b^2-4ad}}{2a}}$

$\mathrm{こ}\mathrm{ち}\mathrm{ら}\mathrm{も}\mathrm{二}\mathrm{つ}\mathrm{の}\mathrm{解}\mathrm{を}\mathrm{た}\mathrm{す}\mathrm{と}{\displaystyle \frac{b}{a}\mathrm{に}\mathrm{な}\mathrm{り}\mathrm{ま}\mathrm{す}。}$

これらのことから一般的に「A+B=C+D」ということができます。

$\mathrm{な}\mathrm{お}、a{x}^2+bx+c=0\mathrm{の}\mathrm{二}\mathrm{つ}\mathrm{の}\mathrm{解}\mathrm{を}\alpha ,\beta \mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と}\mathrm{次}\mathrm{の}\mathrm{等}\mathrm{式}\mathrm{が}\mathrm{成}\mathrm{り}\mathrm{立}\mathrm{ち}\mathrm{ま}\mathrm{す}。$

$a{x}^2+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=0$

解とは$x$の値ですから当然ですよね。

$\mathrm{で}、a(x-\alpha )(x-\beta )\mathrm{を}\mathrm{展}\mathrm{開}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と}a{x}^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta \mathrm{に}\mathrm{な}\mathrm{り}\mathrm{ま}\mathrm{す}\mathrm{か}\mathrm{ら}、$

$a{x}^2+bx+c=a{x}^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =a{x}^2-a(\alpha +\beta )x+a\alpha \beta =0\mathrm{で}\mathrm{す}。$

すなわち恒等式の性質からxの係数について$b=-a(\alpha +\beta )$が成り立ちますから、

$\alpha +\beta =-{\displaystyle \frac{b}{a}}$が成り立ち、解の和は$-{\displaystyle \frac{x\mathrm{の}\mathrm{係}\mathrm{数}}{x^2\mathrm{の}\mathrm{係}\mathrm{数}}}$で求められることがわかります。

$\mathrm{①}4\times (-2)\times (-10)=80$

掛け算割り算はマイナスの数で答えの正負が決まります。マイナスの数が奇数なら答えもマイナス、マイナスの数が偶数だったら答えはプラスです。

$\mathrm{②}(-9)÷3\times 3=-9$

割り算は掛け算に直して計算すると間違えにくい。先に3×３を計算してから-9で割るのは、(-9)÷3÷3を計算することになってしまいます。

$\mathrm{③}{\displaystyle \frac{7}{2}÷\frac{21}{8}=\frac{7\times 8}{2\times 21}=\frac{4}{3}}$

逆数に直さないで答えを出すには、${\displaystyle \frac{\mathrm{最}\mathrm{初}\mathrm{の}\mathrm{分}\mathrm{子}\times \mathrm{次}\mathrm{の}\mathrm{分}\mathrm{母}}{\mathrm{最}\mathrm{初}\mathrm{の}\mathrm{分}\mathrm{母}\times \mathrm{次}\mathrm{の}\mathrm{分}\mathrm{子}}}$と書き出して約分します。

$\mathrm{④}(-5{)}^2\times (-2^2)=25\times (-4)=-100$

$(-5{)}^2=(-5)\times (-5)、(-2^2)=(-2\times 2)\mathrm{の}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{で}\mathrm{す}。$

$\mathrm{⑤}({\displaystyle \frac{5}{6}-\frac{1}{3}\times 18=15-6=9}$

かける数がかけられる数の共通倍数のときはかっこの中を計算してからかけるのではなく、かける数をかけられる数に分配してかけた方が早いかもです。

2+3、式の数字各々に５を掛けると、

2×5+3×5

でも、いちいち×５を２回繰り返すの面倒なので、

5(2+3)

と表す約束事になっています。

５と(の間には×が省略されています。

これらの約束事をうろ覚えにしていると勉強が先に進まないのでしっかり覚えることです。

同じように、2+3の式の数字各々に7をかけるときは7(2+3)と表します。

5(2+3)と7(2+3)をたしたものは、

2+3の式の数字各々に5と7をそれぞれかけることになりますが、

2×5+2×7+3×5+3×7と書き出すのは面倒なので

(2+3)(5+7)と表すことになっています。

即ち、

(2+3)(5+7)=2×5+2×7+3×5+3×7です。

2+3=5、5+7=12ですから、実際は5×12を計算すればいいのですが、

(a+b)(c+d)を計算するときはこの方法が生きてきます。

これを式を「展開する」といいます。

${\displaystyle \frac{(a-1)(a-2)}{3}-\frac{(a-1)(a-2)+5}{4}}$

計算を通分で行うと計算が終わるまで分母を表示しないとならないので別の方法を紹介します。

まず、３と４の最小公倍数12を各項にかけます。

$4(a-1)(a-2)-3\{(a-1)(a-2)+5\}$

$=4(a-1)(a-2)-3(a-1)(a-2)-15$

$4(a-1)(a-2)-3(a-1)(a-2)$は同類項ですから、

$=(a-1)(a-2)-15$

展開して、

$=a^2-3a+2-15$

$=a^2-3a-13$

最初に12をかけたので、最後に12で割って答えにします。

${\displaystyle \frac{a^2-3a-13}{12}}$

かっこどおしの掛け算を先に済ませてから２乗します。

先の二つのかっこの積を片付けて、

$=\{(a^2-1)(a^2+1){\}}^2$

３番目のかっことの積を計算します。

$=(a^4-1{)}^2$

最後に展開します。

$=a^8-2a^4+1$

$-(x+y-z)(x-y+z)$の$-\mathrm{を}+$に変え、$(x-y+z)$に$-1$をかけます。

カッコ内文字の順序を入れ替え、和と差の積(●+▲)(●-▲)の型に持ち込みます。

$=(y+z+x)(y+z-x)+(y-z+x)(y-z-x)$

$=(y+z{)}^2-x^2+(y-z{)}^2-x^2$

yzの項は消えてしまうので、２乗項だけが残ります。

$=-2x^2+2y^2+2z^2$

$(a^2+a+1+{\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{a^2})(a^2-2a+3-{\displaystyle \frac{4}{a}+\frac{5}{a^2})}}$を展開したときの$a$の係数を求めなさい。

降べきの順に並んでいることを確認し、掛けてxについての同類項になる項の和だけを計算します。

$a^2\cdot (-{\displaystyle \frac{4}{a})+a\cdot 3+1\cdot (-2a)+{\displaystyle \frac{1}{a}\cdot a^2}}$

$=-4a+3a-2a+x=-2a$

即ち、答えは$-2$

=(98.7-26.3)(98.7+26.3)

=72.4×125

ここで、125×8=1000、125×4=500に気づければ、

72.4=8×9+0.4ですから、

72.4×125

=125(8×9+0.4)

=125×8×9+125×0.4

=1000×9+50.0

=9050

$a{x}^2+bx+c=0$

$a(x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}x)+c=0}$

$a(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}{)}^2-\frac{b^2}{4a}+c=0}$

$a(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a}}$

両辺を$a$で割り、

$(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

両辺の平方根をとり、

$(x+{\displaystyle \frac{b}{2a})=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

$x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$