投稿者: mitsuru

同じ文字の項を同類項といいます。

例えば、$2x+3y-x+4y$という式では、

$2xと-x,3yと4y$がそれぞれ同類項です。

同類項どうしは、その前についている数字をたして、一つの項にまとめることができます。

ですから、

$2x+3y-x+4y$

$=2x-x+3y+4y$

$=x+7y$になります。

 

文字がかけられている個数を次数といいます。

「式の次数を答えなさい」という問題の場合、単項式と多項式ではちょっと考えが違います。

$例えば、単項式3x^2の次数は、xが2回かけられていますから、次数は２です。$

数字は次数に数えませんから、２がかけられていますが、３ではありません。

また、多項式の次数は一番多くかけられている文字の個数が次数になります。

例えば、5x^3+3x^2の次数は３です。

この違いをしっかり覚えましょう。

多項式は、単項式が足し算や引き算でつながった式です。

例えば、$5x+10とか4a^2+5ab-6$とかといった式のことです。

そして、式の中の一つ一つの単項式を、多項式の項といいます。

$例えば、4a^2+5ab-6の項は、4a^2,+5ab,-6の三つです。$

 

単項式

数字だけ（-2とか11とか）、文字($xとかa^2とか$）だけ、数字と文字の組み合わせ（$3a^7b^2とか\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }a$とか）で作られたかけ算（＝乗法）だけの式を単項式といいます。

かけ算だけの式だから、引き算とか足し算が混じっていないのが多項式との違いです。

単項式が何個かあって、足し算や引き算になっている式は多項式といいます。

$-4x,3x,\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }xy,b^3c^2,-6$

なども単項式です。

$2xは、にえっくすと読み、xが二つあることで、$

$２×x、または、x＋xの計算結果です。$

$数字と文字のかけ算は数字を先に書いて、$

$その後に文字を書くのが約束事です。$

$これに対して、x^2は、えっくすにじょう（2乗）と読み、$

$xを2回かけることで、x×xのことです。$

ちゃんと区分して覚えましょう。

それでは問題です。

$x＝３のとき、２x…①とx^2…②は、それぞれいくらでしょうか？$

$どちらもxに3を代入して、①の答えは、２×３＝６、②の答えは３×３＝９です。$

わかりましたか？

 

 

 

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }+\displaystyle\frac{ 1 }{ 3 }$を計算するとき、どうして通分して分母を６にそろえなければいけないのでしょうか？

なぜ分子、分母どうしをたして、$\displaystyle \frac{ 2 }{ 5 }$としたらダメなのでしょうか？

上の6つに等しく分けられた円を見てください。

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }$は、円の半分の部分ですから、①②③をたした部分です。

また、$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }$は、円を3つに分けたものですから、①②をたした部分です。

円は６つに等しく分けられていますから、①②の部分の大きさは④⑤の部分の大きさと同じです。

このように考えると、$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }+\displaystyle\frac{ 1 }{ 3 }$は①から⑤までの部分であることがわかり、$\displaystyle \frac{ 5 }{ 6 }$であることが理解できます。

計算するときは、分母を２と３の最小公倍数を分母にします。

そして、$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }$は、分母を６にすると分母が3倍になるので、分子も3倍にして３にします。

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }$も、分母を6にして、分母が2倍になりますから、分子にも2をかけて2にします。

つまり、約分したものを約分する前の数字に戻すんです。

いっしょにやってみましょう。

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }+\displaystyle\frac{ 1 }{ 3 }$

＝$\displaystyle \frac{ 3 }{ 6 }+\displaystyle\frac{ 2 }{ 6 }$

＝$\displaystyle \frac{ 5 }{ 6 }$

分母を同じものにしないと、分数どうしは足し算や引き算ができません。

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }$に$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }$をたしてますから、答えは$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }$よりおおきくならなければなりませんが、分子、分母どうしをたした$\displaystyle \frac{ 2 }{ 5 }$では、$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }$にすらなりません。

12÷4×3はいくらでしょう。

12÷4を計算して、その答えと3をかける。①

12×3を計算して、その答えを4で割る。②

÷4を×\displaystyle \frac{ 1 }{ 4 }に直して、最初から計算する。③

3÷4を計算して、その答えを12にかける。④

この4つのやり方で、正しい答え9が導かれます。

かけ算と割り算はどこから計算してもいいですが、

12を4と3をかけた12で割って、答え1としてはダメです。

そのようにすると、3も割る数に含まれてしまいます。

一番間違えにくいのは、③のやり方ではないかなと思います。

割り算は、かけ算に直して（割る数を逆数にする）計算する習慣をつけましょう。

 

割り算をするときには、割られる数に割る数の逆数をかけますが、それはなぜでしょう？

例えば、6÷２＝３ですが、

$\displaystyle ６×\frac{ 1 }{ 2 }$

$\displaystyle ＝\frac{ 6 }{ 1 }× \frac{ 1 }{ 2 }$

$\displaystyle ＝ \frac{ 6×1 }{ 1×2 }＝ \frac{ 6 }{ 2 }＝３と考えることもできます。$

÷2は2つに分けることです。

$中学数学では、２つに分けることを、$

$「\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }にする（\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }をかける）」と考えます。$

÷の記号は、真ん中の線の上に点が２つ上と下に乗っかっています。

上の点は割られる数、下の点は割る数を表しています。

$ですから、\displaystyle \frac{ 6 }{ 2 }は、$

6を2で割る、6を2つに分けることを表しています。

もう少し複雑な問題を考えてみます。

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }÷ \frac{ 11 }{ 3 }$

$答えは、上でお話ししたように、$

$「\displaystyle÷\frac{ 11 }{ 3 }」を逆数の「×\frac{ 3 }{ 11}」」にして、$

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }×\frac{ 3 }{ 11}$

$=\displaystyle \frac{ 5×3 }{ 7×11 }$

$=\displaystyle \frac{ 15 }{ 77}$

とすればいいのですが、

この問題を、数学的な言葉の定義ではなく、四則演算の観点から考えてみます。

$この答えをxとすると、$

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }÷ \frac{ 11 }{ 3 }=x$

$左右両辺に\displaystyle \frac{ 11 }{ 3 }をかけて、$

（＝の右と左に同じ数をかけても＝が成り立つ性質を利用します）

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }× \frac{ 11 }{ 3 }÷ \frac{ 11 }{ 3 }=x× \frac{ 11 }{ 3 }$

$右辺の\displaystyle \frac{ 11 }{ 3 }÷ \frac{ 11 }{ 3 }を計算すると、$

同じ数どうしの割り算なので１になり、

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }=x× \frac{ 11 }{ 3 }$

と、簡単にできます。

$両辺に \displaystyle \frac{ 11 }{ 3 }の逆数、\displaystyle  \frac{ 3 }{ 11 }をかけると、$

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }× \frac{ 3 }{ 11 }=x× \frac{ 11 }{ 3 }× \frac{ 3 }{ 11 }$

$\displaystyle \frac{ 5×3 }{ 7×11 }=x× \frac{ 11×3 }{ 3×11 }$

$\displaystyle \frac{ 15 }{77 }=x$

右辺と左辺を取り換えて、

$x=\displaystyle \frac{ 15 }{77 }$

以上のように、イコールの性質を利用した四則演算の観点からみても同じ結果になります。

実際に問題を解くときは、もちろん、割る数を逆数してかけると簡単だし、早く解けます。

分数のかけ算は、分子どうし、分母どうしのかけ算の結果が答えになります。

例えば、

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }  \times \frac{ 2 }{ 5 }$

$\displaystyle=\frac{ 1×2 }{ 3×5 } $

$\displaystyle=\frac{ 2 }{ 15 } $

でも、一体なぜ、分子と分母どうしをかけるだけでいいのでしょうか？

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }  \times \frac{ 2 }{ 5 } は、$

=$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }  \times \frac{ 1 }{ 5 }  \times 2$

に書き直すことができます。

$まず、\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }  \times \frac{ 1 }{ 5 }を考えてみます。$

分子と分母どうしをかけるだけでいいなら、答えは、

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }  \times \frac{ 1 }{ 5 }＝\frac{ 1 }{ 15 }$

になるはずです。

$\displaystyle  \frac{ 1 }{ 3 } に\displaystyle\frac{ 1 }{ 5 }をかけることは、$

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }を5等分するということですから、答えの\displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }$

$ を5回たしたら\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }にならなければいけませんよね。$

ほんとにそうなるか、検算してみましょう。

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }+\frac{ 1 }{ 15 }+\frac{ 1 }{ 15 }+\frac{ 1 }{ 15 }+\frac{ 1 }{ 15 }=\frac{ 1+1+1+1+1 }{ 15 }=\frac{ 5 }{ 15 }=\frac{ 1 }{ 3 }$

なりましたね。

$次に、この\displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }に２をかけるということは、$

$ \displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }が２つあることですから、$

$ \displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }+\frac{ 1 }{ 15 }＝\frac{ 2 }{ 15 }です。$

これも同じく、最初から、

$ ２は分数で\displaystyle \frac{ 2 }{ 1 }と表せますから、$

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }×\frac{ 2 }{ 1 }＝\frac{ 1×2 }{ 15 ×1}＝\frac{ 2 }{ 15 }$

とできるんです。

今日から新年号、そして新学期も始まりました。

今日から入学する中学1年生は3名。

新2年生５人、新3年生4人、小学生1人、高校生16人、大学生1名。

それぞれのゴールに向かって新しい一歩を踏み出しましょう。