いろいろな展開問題 その2

(a1)(a2)(a3)(a4)

=(a1)(a4)(a2)(a3)

=(a25a+4)(a25a+6)

=(a25a)2+10(a25a)+24

=a410a3+25a2+10a250a+24

=a410a3+35a250a+24

指針 1次までの項が揃うように組み合わせを考えて展開後に(a+b)(a+c)型展開適用。

(w+xyz)(wxy+z)

={(wy)+(xz)}{(wy)(xz)}

=(wy)2(xz)2

=w22wy+y2(x22xz+z2)

=w22wy+y2x2+2xzz2

=w2x2+y2z22wy+2xz

指針 (a+b)(a-b)型に導く

=(a2+a+1)(2a2+2a3)

=2(a2+a+1)(a2+a32)

=2{(a2+a)212(a2+a)32}

=2a4+4a3+a2a3

指針 aについて一次までの項が揃うように工夫する。

または、

=(a2+a+1){2(a2+a)3}

=2(a2+a)2+(3+21)(a2+a)3

=2a4+4a3+2a2a2a3

=2a4+4a3+a2a3

いろいろな展開問題

(2x3y5z)2

=(2x)2+(3y)2+(5y)2+2(2x)(3y)+2(3y)(5z)+2(2x)(5z)

=4x2+9y2+25z212xy+30yz20zx

ヒント (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

(x2y+3z)(x+2y3z)

={x(2y3z)}{x+(2y3z)}

=x2(2y3z)2

=x2(4y212yz+9z2)

=x24y2+12yz9z2

ヒント (a+b)(ab)=a2b2

(a2+2a1)(a2+2a3)

=(a2+2a)24(a2+2a)+3

=a4+4a3+4a24a28a+3

=a4+4a38a+3

ヒント (a+b)(a+c)=a2+(b+c)a+bc

(x+2y)2(x2y)2

={(x+2y)(x2y)}2

=(x24y2)2

=x48x2y2+16y4

6300をできるだけ小さい自然数で割って余りがなく、商がある自然数の平方になるようにするには、どんな数で割れば良いか?

6300を素因数分解すると、

6300=2^2×3^2×5^2×7であるから、

7で割ると商は900となり、30の平方ができるということがわかる。

x=31のとき、x2+2x+3の値を求めよ。

代入すると、323+1+2(31)+3=3+12+3=5

また、

x=31の右辺にある-1を左辺に移行して式を2乗すると、左辺にx2+2xができるので式の値をx2+2x+3に代入しても答えが出そうです。

x=31より、

x+1=3

両辺を2乗して、

x2+2x+1=3

両辺に2をたして、

x2+2x+3=5

あなたが簡単と思える方で解けばいいと思いますが、直接代入する以外の方法も覚えておくと後々ためになりますよ。

x=5+1,y=51x2+y2の値を求めよ。

①直接代入して求める方法

x2+y2=(5+1)2+(51)2

=5+25+1+525+1

=12

x2+y2は対称式ですから、x+y,xyで表すことができます。

対称式とは文字を入れ替えても同じ式になるものをいいます。

x2+y2=(x+y)22xy

今、x+y=25,xy=51=4より、

与式=208=12

12a6b2÷4a2b2×2a3b5を計算せよ。

12a6b2×2a3b54a2b2を計算してもいいのですが筆算する手間がかかります。

頭の中で下のように計算できると筆算必要ありません。

12÷4×2a62+3b22+5=6a7b5

累乗の加減の結果が0になれば答えは1、マイナスになれば答えは累乗の逆数になります。

例えば、a0=1a2=1a2です。