カテゴリー: 中学数学

①　絶対値が2より小さい整数をすべて求めましょう。

答え　$-1,0,+1$

絶対値は符号を取り去った後に残った数字のことです。2より小さい整数は$0\mathrm{と}1$ですから、これらの数字にプラスマイナスをつけた正負の数が答えです。ただし$0$は正の数でも負の数でのないのでプラスマイナスをつけることはできません。

②　数直線上で$-0$からの距離が$7$である数を求めましょう。

答え　$-7,+7$

絶対値はゼロからの距離と考えることもできます。つまり、0から左右に7進んだ先のプラスマイナス7が答えになります。

加減計算の型は次の４つだけです。

$3+5\mathrm{①}$
$3-5\mathrm{②}$
$-3+5\mathrm{③}$
$-3-5\mathrm{④}$

まず、①と②は3の前に＋が省略されているので補ってください。 符号がついた前後２つの数を見比べてください。

符号がどちらも同じときは、数どうしを足してた数にその同じ符号をつけて答えにします。ただし、＋の場合は＋を省略します。

例えば、
①は+3+5=+8=8
④は-3-5=-8
です。

頭の中で数直線を思い描くと、①は０から右に３進んで、さらに右に５進んだ先は８、②は０から左に３進んで、更に左に５進んだ先は－８ということになります。

符号が違う数どうしのときは、大きい方の数から小さいほうの数を引いた数に大きい方の数の前についてる符号をつけて答えにします。

例えば、
②は+3-5=-(5-3)=-2
③は-3+5=+(5-3)=+2=2

②は０から右に３進んでから左に５進んだ先は－２、③は０から左に３進んで反対側の右に５進んだ先は２ということです。

左側の式は右側の式になおすことができます。

$(+3)+(+5)=3+5\mathrm{①}$
$(+3)+(-5)=3-5\mathrm{②}$
$(+3)-(+5)=3-5\mathrm{③}$
$(+3)-(-5)=3+5\mathrm{④}$
$(-3)+(+5)=-3+5\mathrm{⑤}$
$(-3)+(-5)=-3-5\mathrm{⑥}$
$(-3)-(+5)=-3-5\mathrm{⑦}$
$(-3)-(-5)=-3+5\mathrm{⑧}$

どうしてそのようにできるのか説明します。

最初にかっこを外します。次に＋は省略できるので省略すると次のようになります。

$35\mathrm{①}$
$3-5\mathrm{②}$
$3-5\mathrm{③}$
$3--5\mathrm{④}$
$-35\mathrm{⑤}$
$-3-5\mathrm{⑥}$
$-3-5\mathrm{⑦}$
$-3--5\mathrm{⑧}$

①と⑤は、
3と5の間に省略されている＋を書き入れて、
$3+5\mathrm{①}$
$-3+5\mathrm{⑤}$

④と⑧が、
$3+5$④
$-3+5$ ⑧
となる理由は、次のように記憶していたら迷ったときに思い出しやすくないでしょうか。

例えば、

「うるさくしないでください」と「静かにしてください」は、
言い方は違いますが、ほぼ同じ意味を表す言葉です。

「うるさい」と「静か」はお互いに反対の意味を表し、
「しないでください」と「してください」もまた反対の意味を持っています。

反対の意味を持つ語を二つ並べると元の言葉と同じになる！

＋と－の記号もそれぞれ反対の意味を表していますから、
$--$は$++$と同じことになり、④と⑧のように考えることができるのだと。

●比例の関係

ｙがｘに比例していれば、ｙ＝aｘ（aｘはa×ｘのこと）と表せる。
aはなにか決まった数で、ｙとｘは変化する数。

例えば、一片の長さがｘｃｍの正方形の周（４つの辺の長さの合計）
の長さをｙとすると、正方形は同じ長さの辺が４つあるから、
周の長さを全部たすと、４×ｘになり、ｙ＝４ｘという式が成り立つ。

正方形は同じ長さの辺をいつも４つ持っているが、一つの辺が１ｃｍの正方形もあるし、10センチの正方形もある。だから、ａは変わることがない決まった数で、ｘやｙはいろいろな値をとることができる。この理由でａを定数、ｘやｙを変数という。

問題
次のｙとｘは比例の関係にあるといえるか？
① 長さ１メートルのロープからｘｃｍのロープを切り取ったらｙｃｍになった。
１－ｘ＝ｙ
ｙ＝ａｘ（ｙは、ａという数とｘとの掛け算の答え）と表せないので、比例の関係にはない。

② ドラム缶に一分間に10リットルの割合で水を入れていくと、ｘ分間にｙリットルたまる。
式がわからなかったら、数字になおして考えてみる。
１分で10リットルたまる、2分で20リットルたまる、3分で30リットルたまる・・・
今ｘは分で、ｙはリットルだ。分が2倍3倍になると、リットルも2倍3倍になるから比例だ。比例だからｙ＝ａｘとおける。ｘが2のときｙは20だ。式に代入すると、
20＝ａ×2＝2ａだ。ａの前の2がじゃまだから、両辺に2の逆数の1/2（2分の１のこと：/の右が分子・左が分母）をかけて、
20×1/2＝2×ａ×1/2で10＝ａだ。ａ＝10をｙ＝ａｘのａに代入すると、ｙ＝10ｘと表すことができる。

比例式の特徴
ｙ＝２ｘのｙとｘを表にすると、
ｘ　１　２　３　４　・・・
ｙ　２　４　６　８　・・・

${\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}}$より、

${\displaystyle \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{c}-\mathrm{①}}$

逆数をとって、

${\displaystyle \frac{ab}{a+b}=\frac{c}{1}}$

即ち、$c={\displaystyle \frac{ab}{a+b}}$

①の両辺に$\times c\times {\displaystyle \frac{ab}{a+b}}$をかけてもいいですね。

右辺は$(a+b)\mathrm{と}{\displaystyle \frac{h}{2}}$との積でできています。

${\displaystyle \frac{h}{2}}$にその逆数である${\displaystyle \frac{2}{h}}$を掛けると1になり、右辺は$a+b$になります。

したがって、両辺に${\displaystyle \frac{2}{h}}$を掛けると、

${\displaystyle \frac{2S}{h}=a+b}$

左右ひっくり返して、

$a+b={\displaystyle \frac{2S}{h}}$

bを移項して、

$a={\displaystyle \frac{2S}{h}-b}$

6300を素因数分解すると、

6300=2^2×3^2×5^2×7であるから、

７で割ると商は９００となり、３０の平方ができるということがわかる。

代入すると、$3-2\sqrt{3}+1+2(\sqrt{3}-1)+3=3+1-2+3=5$

また、

$x=\sqrt{3}-1$の右辺にある-1を左辺に移行して式を２乗すると、左辺に$x^2+2x$ができるので式の値を$x^2+2x+3$に代入しても答えが出そうです。

$x=\sqrt{3}-1$より、

$x+1=\sqrt{3}$

両辺を２乗して、

$x^2+2x+1=3$

両辺に２をたして、

$x^2+2x+3=5$

あなたが簡単と思える方で解けばいいと思いますが、直接代入する以外の方法も覚えておくと後々ためになりますよ。

①直接代入して求める方法

$x^2+y^2=(\sqrt{5}+1{)}^2+(\sqrt{5}-1{)}^2$

$=5+2\sqrt{5}+1+5-2\sqrt{5}+1$

$=12$

②$x^2+y^2$は対称式ですから、$x+y,xy$で表すことができます。

対称式とは文字を入れ替えても同じ式になるものをいいます。

$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy$

今、$x+y=2\sqrt{5},xy=5-1=4$より、

与式$=20-8=12$