正負の乗除確認問題

$① 4×(-2)×(-10)=80$

掛け算割り算はマイナスの数で答えの正負が決まります。マイナスの数が奇数なら答えもマイナス、マイナスの数が偶数だったら答えはプラスです。

$②(-9)÷3×3=-9$

割り算は掛け算に直して計算すると間違えにくい。先に3×3を計算してから-9で割るのは、(-9)÷3÷3を計算することになってしまいます。

$③\displaystyle\frac{7}{2}÷\frac{21}{8}=\frac{7×8}{2×21}=\frac{4}{3}$

逆数に直さないで答えを出すには、$\displaystyle\frac{最初の分子×次の分母}{最初の分母×次の分子}$と書き出して約分します。

$④(-5)^2×(-2^2)=25×(-4)=-100$

$(-5)^2=(-5)×(-5)、(-2^2)=(-2×2)のことです。$

$⑤(\displaystyle\frac{5}{6}-\frac{1}{3}×18=15-6=9$

かける数がかけられる数の共通倍数のときはかっこの中を計算してからかけるのではなく、かける数をかけられる数に分配してかけた方が早いかもです。

展開公式$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$なわけ。

2+3、式の数字各々に5を掛けると、

2×5+3×5

でも、いちいち×5を2回繰り返すの面倒なので、

5(2+3)

と表す約束事になっています。

5と(の間には×が省略されています。

これらの約束事をうろ覚えにしていると勉強が先に進まないのでしっかり覚えることです。

同じように、2+3の式の数字各々に7をかけるときは7(2+3)と表します。

5(2+3)と7(2+3)をたしたものは、

2+3の式の数字各々に5と7をそれぞれかけることになりますが、

2×5+2×7+3×5+3×7と書き出すのは面倒なので

(2+3)(5+7)と表すことになっています。

即ち、

(2+3)(5+7)=2×5+2×7+3×5+3×7です。

2+3=5、5+7=12ですから、実際は5×12を計算すればいいのですが、

(a+b)(c+d)を計算するときはこの方法が生きてきます。

これを式を「展開する」といいます。

通分すべき問題を通分しないで解く

$\displaystyle\frac{(a-1)(a-2)}{3}-\frac{(a-1)(a-2)+5}{4}$

計算を通分で行うと計算が終わるまで分母を表示しないとならないので別の方法を紹介します。

まず、3と4の最小公倍数12を各項にかけます。

$4(a-1)(a-2)-3\lbrace(a-1)(a-2)+5\rbrace$

$=4(a-1)(a-2)-3(a-1)(a-2)-15$

$4(a-1)(a-2)-3(a-1)(a-2)$は同類項ですから、

$=(a-1)(a-2)-15$

展開して、

$=a^2-3a+2-15$

$=a^2-3a-13$

最初に12をかけたので、最後に12で割って答えにします。

$\displaystyle\frac{a^2-3a-13}{12}$

すべて展開しないで解く問題

$(a^2+a+1+\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2})(a^2-2a+3-\displaystyle\frac{4}{a}+\frac{5}{a^2})$を展開したときの$a$の係数を求めなさい。

降べきの順に並んでいることを確認し、掛けてxについての同類項になる項の和だけを計算します。

$a^2\cdot(-\displaystyle\frac{4}{a})+a\cdot3+1\cdot(-2a)+\displaystyle\frac{1}{a}\cdot a^2$

$=-4a+3a-2a+x=-2a$

即ち、答えは$-2$

解の公式導入

$ax^2+bx+c=0$

$a(x^2+\displaystyle\frac{b}{a}x)+c=0$

$a(x+\displaystyle\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c=0$

$a(x+\displaystyle\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a}$

両辺を$a$で割り、

$(x+\displaystyle\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

両辺の平方根をとり、

$(x+\displaystyle\frac{b}{2a})=±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=-\displaystyle\frac{b}{2a}±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\displaystyle\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

二点を通る1次関数

(1,2)と(5,6)を通る直線は、

傾きは$\displaystyle\frac{5-1}{6-2}=1$

$x=1$のとき$y=2$ですから$y=(x-1)+2$

また、$x=5$のとき$y=6$ですから、$y=(x-5)+6$とも表すことができます。

$x$と$y$に値を代入して等式が成り立つような形に無理くりしてしまう…そんな感覚です。

そして、これらどちらも$y=x+1$になります。

一般に、

$(a,b)$と$(c,d)$を通る直線の式は、$y=\displaystyle\frac{d-b}{c-a}(x-a)+b$または$y=\displaystyle\frac{b-d}{a-c}(x-c)+d$と表すことができます。

また、$y=\displaystyle\frac{d-b}{c-a}x+A-①$とおき、$(a,b)$を代入すると、

$A=-\displaystyle\frac{d-b}{c-a}a+b$ですから、

①は$y=\displaystyle\frac{d-b}{c-a}x-\displaystyle\frac{d-b}{c-a}a+b$

すなわち、$y=\displaystyle\frac{d-b}{c-a}(x-a)+b$となります。

$y=ax^2$ 変化の割合

$y=ax^2$でxの値がbからcに変化したときの変化の割合は

$a(b+c)$と表すことができます。

それはなぜかを説明します。

変化の割合は$\displaystyle\frac{yの増加量}{xの増加量}$ですから、

上のケースの場合は、$\displaystyle\frac{ac^2-ab^2}{c-b}$です。

$\displaystyle\frac{ac^2-ab^2}{c-b}$

分母をaで括って、

$\displaystyle\frac{a(c^2-b^2)}{c-b}$

$c^2-b^2$を因数分解して、

$=\displaystyle\frac{a(c-b)(c+b)}{c-b}$

約分して、

$=a(c+b)$

数字が大きくなった時など、原理原則に立ち返りいちいちオーソドッククスに計算していたんでは余計に時間がかかったり、計算間違いにもなりかねません。

覚えおくといいと思います。