カテゴリー: 中学数学

約束

数字の前についている+,-の印を→符号

(+8)+(-5)や(+8)–(-5)など、二つのかっこにはさまれた+や-を→演算記号

数字を→絶対値

とよぶ。

(+5)や(+11)など、かっこの中の符号が+の数は、小学校で習った5や11とおなじこと。

+は右に進む印、計算の始まりは0。

同符号どうし（＋と＋どうし、－と－どうし）のたし算

✅(+8)+(+5)=+13

0から右に8進んで、右に進む。

これは、小学校で習ったたし算と同じ。

✅(-8)+(-5)=-13

0から左へ8進んで、左に5進む。

このことからわかること↓↓

同じ符号のたし算（＋と＋どうし、－と－どうし）は、絶対値をたして、計算結果に２つの数字に共通している符号をつける。

違う符号どうし（＋と-どうし、－と＋どうし）のたし算

✅(+8)+(-5)=+3

0から右に8進んで、左に5進む。

✅(-8)+(+5)=-3

0から左に8進んで、右に5進む。

このことからわかること↓↓

違う符号どうしのたし算は、絶対値の大きい数字から小さいほうの数字をひいて、大きい絶対値のほうの符号をつける。

同符号どうし（＋と＋どうし、－と－どうし）のひき算

✅(+8)-(+5)=+3

「好きではないです」は「きらいです」と同じこと。

「好き」の反対は「きらい」、「ないです」の反対は「です」。

だから、違う違うと2回繰り返せば、最初に言ったことと同じになる。-①

これがわかれば、+5をひくことは、-5をたすことだとわかる。

だから、(+8)-(+5)は(+8)+(-5)と考えることができるので、

0から右に8進んで、5左に進むことだから答えは3。

また、こう考えてのいいと思います。

例えば、6÷3は6×$ \frac{ 1 }{ 3 }$と考えることもできると小学校で習いました。

これは、「÷３」は「×逆数」と同じだということですが、

これも、「÷の反対は×」、「3の反対は逆数の$ \frac{ 1 }{ 3 }$」で、２つとも反対にしたら、もとの式と同じ答えが出ます。

✅(-8)-(-5)=-3

①のように考えると、

-5をひくことは、+5をたすことだとわかる。

だから、(-8)-(-5)は(-8)+(+5)と同じこと。

0から左に8進んで、右に5進むので答えは-3。

ことなる符号どうし（＋と-どうし、-と+どうし）のひき算

✅(+8)-(-5)=+13

-5をひくことは、+5をたすことと同じことだから、

(+8)-(-5)=(+8)+(+5)

0から右へ8進んで、更に右に5進むので、答えは+13。

✅(-8)-(+5)=-13

+5をひくことは、-5をたすことと同じことだから、

(-8)-(+5)=(-8)+(-5)

0から左へ8進んで、更に左に5進むので、答えは-13

(+1)+(+2)+(-3)-(+4)-(-5)=(+1)+(+2)+(-3)+(-4)+(+5)=1+2-3-4+5=+1

同じ符号どうしのかけ算と割り算は、絶対値の計算結果の前に+をつける。

右方向の速さを+、時間が進むこと（～秒後）を+で表すことにすると、左方向の速さは-、時間が戻ること（～秒前）は-で表すことができます。

1秒で2ｍ歩く人が、+方向（→方向）に向かって歩いています。

歩き始めてから50ｍのところまで来ました。

あと5秒歩いたら（5秒後には）、歩き始めてから何ｍのところにいるでしょうか？

50m+(+2ｍ)×(+5秒)＝60ｍ。ー①

それでは、この人は5秒前には歩き始めてから何ｍのところにいたのでしょうか？

5秒後を+5秒と表すことにすれば、5秒前は-5秒と表すことができるので、

50ｍ+（2ｍ)×(-5秒)と計算することができますね。

5秒前は50ｍ地点から2×5＝20ｍだけ手前にいたはずですから、30ｍ地点にいたはずです。

そうすると、

50ｍ+（2ｍ)×(-5秒)＝30ｍということがわかると思います。

ですから、（2ｍ)×(-5秒)＝-10ｍです。ー②

今度は、この人が、－方向（←方向）に歩き続けていると考えます。

左に歩き続けて、-50ｍ地点につきました。

ここから、5秒後この人はどの地点にいるでしょうか。

-50ｍ+(-2m)×(5秒)と計算することができます。

-50ｍから左に5秒歩き続けると、2×5＝10だけ左に進みますから-60ｍのところにいるはずです。

ですから、-50ｍ+(-2m)×(5秒)＝-60ｍです。

すなわち、(-2m)×(5秒)＝-10ｍです。ー③

②③から、+と-のかけ算（異符号どうしのかけ算）の積（かけ算の答え）は、どちらから先にかけても－になります。

次に、この人は-50ｍ地点から5秒前にはどこにいたでしょう？

5秒前は-50ｍ地点から2ｍ×5秒＝10ｍ右側にいたはずですから-40ｍのところにいます。

つまり、-50ｍ+（-2ｍ）×（-５秒）＝-40です。

したがって、（-2ｍ）×（-５秒）＝+10です。④

①④から、+と+、-と-のかけ算（＝同符号どうしのかけ算）の積（かけ算の答え）は+になります。

違う符号どうしのかけ算と割り算は、絶対値の計算結果の前に-をつける。

割り算は割る数を逆数にしてかけ算にできますから、割り算もかけ算と同じに考えることができます。

正の数と負の数のたし算ひき算かけ算わり算、覚えるのはこれだけです。

最大公約数は、いくつかの数に共通する一番大きい約数（割り切れる数）です。

どのようにして約数を見つけるかお話しします。

数はいくつかの素数（１とその数の２つの数でしか割れない数、例えば2,3,5,7,11,13…..1は1しか割り切れる数がないので素数ではありません）のかけ算でつくられています。

例えば、6は2×3，18は$2×3^3（＝2×3×3）$といった具合です。

ですから、数をこのように素数のかけ算の形に直して、共通している（どちらの数にも含まれている）数を探すと、それが最大公約数になります。

さきほどの例の場合は、2×3が6と18の中に共通して含まれているので、最小公倍数は2×3で6になります。

最大公約数を見つける時、実際には次のようにします。

\begin{array}{c|ccccc}
2 & 6 &,& 12 \\
\hline
3 & 3 &,& 6 \\
\hline
& 1 &,& 2 \
\end{array}

最大公約数を見つけたい二つの数字を並べて書いて、数字の下に割り算を筆算するときの割るの記号を逆さまに書き、左側に二つの数のどちらを割っても割り切れる素数の一番小さい数を書きます。

その次に、二つの数を左に書き入れた数で割った答えを二つの数字の下に書き入れます。

このことを割っていった二つの答えがこうこれ以上割れません！というまで続けていきます。

終わったら、最後に、左端に縦に並んだ数字を全部かけ算した答えが最大公約数です。

同じ文字の項を同類項といいます。

例えば、$2x+3y-x+4y$という式では、

$2xと-x,3yと4y$がそれぞれ同類項です。

同類項どうしは、その前についている数字をたして、一つの項にまとめることができます。

ですから、

$2x+3y-x+4y$

$=2x-x+3y+4y$

$=x+7y$になります。

 

文字がかけられている個数を次数といいます。

「式の次数を答えなさい」という問題の場合、単項式と多項式ではちょっと考えが違います。

$例えば、単項式3x^2の次数は、xが2回かけられていますから、次数は２です。$

数字は次数に数えませんから、２がかけられていますが、３ではありません。

また、多項式の次数は一番多くかけられている文字の個数が次数になります。

例えば、5x^3+3x^2の次数は３です。

この違いをしっかり覚えましょう。

多項式は、単項式が足し算や引き算でつながった式です。

例えば、$5x+10とか4a^2+5ab-6$とかといった式のことです。

そして、式の中の一つ一つの単項式を、多項式の項といいます。

$例えば、4a^2+5ab-6の項は、4a^2,+5ab,-6の三つです。$

 

単項式

数字だけ（-2とか11とか）、文字($xとかa^2とか$）だけ、数字と文字の組み合わせ（$3a^7b^2とか\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }a$とか）で作られたかけ算（＝乗法）だけの式を単項式といいます。

かけ算だけの式だから、引き算とか足し算が混じっていないのが多項式との違いです。

単項式が何個かあって、足し算や引き算になっている式は多項式といいます。

$-4x,3x,\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }xy,b^3c^2,-6$

なども単項式です。

$2xは、にえっくすと読み、xが二つあることで、$

$２×x、または、x＋xの計算結果です。$

$数字と文字のかけ算は数字を先に書いて、$

$その後に文字を書くのが約束事です。$

$これに対して、x^2は、えっくすにじょう（2乗）と読み、$

$xを2回かけることで、x×xのことです。$

ちゃんと区分して覚えましょう。

それでは問題です。

$x＝３のとき、２x…①とx^2…②は、それぞれいくらでしょうか？$

$どちらもxに3を代入して、①の答えは、２×３＝６、②の答えは３×３＝９です。$

わかりましたか？

 

 

 

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }+\displaystyle\frac{ 1 }{ 3 }$を計算するとき、どうして通分して分母を６にそろえなければいけないのでしょうか？

なぜ分子、分母どうしをたして、$\displaystyle \frac{ 2 }{ 5 }$としたらダメなのでしょうか？

上の6つに等しく分けられた円を見てください。

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }$は、円の半分の部分ですから、①②③をたした部分です。

また、$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }$は、円を3つに分けたものですから、①②をたした部分です。

円は６つに等しく分けられていますから、①②の部分の大きさは④⑤の部分の大きさと同じです。

このように考えると、$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }+\displaystyle\frac{ 1 }{ 3 }$は①から⑤までの部分であることがわかり、$\displaystyle \frac{ 5 }{ 6 }$であることが理解できます。

計算するときは、分母を２と３の最小公倍数を分母にします。

そして、$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }$は、分母を６にすると分母が3倍になるので、分子も3倍にして３にします。

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }$も、分母を6にして、分母が2倍になりますから、分子にも2をかけて2にします。

つまり、約分したものを約分する前の数字に戻すんです。

いっしょにやってみましょう。

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }+\displaystyle\frac{ 1 }{ 3 }$

＝$\displaystyle \frac{ 3 }{ 6 }+\displaystyle\frac{ 2 }{ 6 }$

＝$\displaystyle \frac{ 5 }{ 6 }$

分母を同じものにしないと、分数どうしは足し算や引き算ができません。

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }$に$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }$をたしてますから、答えは$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }$よりおおきくならなければなりませんが、分子、分母どうしをたした$\displaystyle \frac{ 2 }{ 5 }$では、$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }$にすらなりません。

12÷4×3はいくらでしょう。

12÷4を計算して、その答えと3をかける。①

12×3を計算して、その答えを4で割る。②

÷4を×\displaystyle \frac{ 1 }{ 4 }に直して、最初から計算する。③

3÷4を計算して、その答えを12にかける。④

この4つのやり方で、正しい答え9が導かれます。

かけ算と割り算はどこから計算してもいいですが、

12を4と3をかけた12で割って、答え1としてはダメです。

そのようにすると、3も割る数に含まれてしまいます。

一番間違えにくいのは、③のやり方ではないかなと思います。

割り算は、かけ算に直して（割る数を逆数にする）計算する習慣をつけましょう。

 

割り算をするときには、割られる数に割る数の逆数をかけますが、それはなぜでしょう？

例えば、6÷２＝３ですが、

$\displaystyle ６×\frac{ 1 }{ 2 }$

$\displaystyle ＝\frac{ 6 }{ 1 }× \frac{ 1 }{ 2 }$

$\displaystyle ＝ \frac{ 6×1 }{ 1×2 }＝ \frac{ 6 }{ 2 }＝３と考えることもできます。$

÷2は2つに分けることです。

$中学数学では、２つに分けることを、$

$「\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }にする（\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }をかける）」と考えます。$

÷の記号は、真ん中の線の上に点が２つ上と下に乗っかっています。

上の点は割られる数、下の点は割る数を表しています。

$ですから、\displaystyle \frac{ 6 }{ 2 }は、$

6を2で割る、6を2つに分けることを表しています。

もう少し複雑な問題を考えてみます。

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }÷ \frac{ 11 }{ 3 }$

$答えは、上でお話ししたように、$

$「\displaystyle÷\frac{ 11 }{ 3 }」を逆数の「×\frac{ 3 }{ 11}」」にして、$

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }×\frac{ 3 }{ 11}$

$=\displaystyle \frac{ 5×3 }{ 7×11 }$

$=\displaystyle \frac{ 15 }{ 77}$

とすればいいのですが、

この問題を、数学的な言葉の定義ではなく、四則演算の観点から考えてみます。

$この答えをxとすると、$

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }÷ \frac{ 11 }{ 3 }=x$

$左右両辺に\displaystyle \frac{ 11 }{ 3 }をかけて、$

（＝の右と左に同じ数をかけても＝が成り立つ性質を利用します）

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }× \frac{ 11 }{ 3 }÷ \frac{ 11 }{ 3 }=x× \frac{ 11 }{ 3 }$

$右辺の\displaystyle \frac{ 11 }{ 3 }÷ \frac{ 11 }{ 3 }を計算すると、$

同じ数どうしの割り算なので１になり、

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }=x× \frac{ 11 }{ 3 }$

と、簡単にできます。

$両辺に \displaystyle \frac{ 11 }{ 3 }の逆数、\displaystyle  \frac{ 3 }{ 11 }をかけると、$

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }× \frac{ 3 }{ 11 }=x× \frac{ 11 }{ 3 }× \frac{ 3 }{ 11 }$

$\displaystyle \frac{ 5×3 }{ 7×11 }=x× \frac{ 11×3 }{ 3×11 }$

$\displaystyle \frac{ 15 }{77 }=x$

右辺と左辺を取り換えて、

$x=\displaystyle \frac{ 15 }{77 }$

以上のように、イコールの性質を利用した四則演算の観点からみても同じ結果になります。

実際に問題を解くときは、もちろん、割る数を逆数してかけると簡単だし、早く解けます。