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分数のかけ算

分数のかけ算は、分子どうし、分母どうしのかけ算の結果が答えになります。

例えば、

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }  \times \frac{ 2 }{ 5 }$

$\displaystyle=\frac{ 1×2 }{ 3×5 } $

$\displaystyle=\frac{ 2 }{ 15 } $

でも、一体なぜ、分子と分母どうしをかけるだけでいいのでしょうか?

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }  \times \frac{ 2 }{ 5 } は、$

=$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }  \times \frac{ 1 }{ 5 }  \times 2$

に書き直すことができます。

$まず、\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }  \times \frac{ 1 }{ 5 }を考えてみます。$

分子と分母どうしをかけるだけでいいなら、答えは、

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }  \times \frac{ 1 }{ 5 }=\frac{ 1 }{ 15 }$

になるはずです。

$\displaystyle  \frac{ 1 }{ 3 } に\displaystyle\frac{ 1 }{ 5 }をかけることは、$

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }を5等分するということですから、答えの\displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }$

$ を5回たしたら\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }にならなければいけませんよね。$

ほんとにそうなるか、検算してみましょう。

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }+\frac{ 1 }{ 15 }+\frac{ 1 }{ 15 }+\frac{ 1 }{ 15 }+\frac{ 1 }{ 15 }=\frac{ 1+1+1+1+1 }{ 15 }=\frac{ 5 }{ 15 }=\frac{ 1 }{ 3 }$

なりましたね。

$次に、この\displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }に2をかけるということは、$

$ \displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }が2つあることですから、$

$ \displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }+\frac{ 1 }{ 15 }=\frac{ 2 }{ 15 }です。$

これも同じく、最初から、

$ 2は分数で\displaystyle \frac{ 2 }{ 1 }と表せますから、$

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }×\frac{ 2 }{ 1 }=\frac{ 1×2 }{ 15 ×1}=\frac{ 2 }{ 15 }$

とできるんです。

新1年生が2人

昨日、中学新1年生が2人、塾に入りたいということで訪ねてくれました。

これで、新1年生は3人になりました。

みなさん、算数が苦手ということでしたから、

まずは、小学校で習う基礎から始めたいと思っています。

近ごろは、1年生から入学する生徒がだんだん増えてきました。

早い時期から来ていただくと、時間をかけてゆっくり教えることができるので理解が深まっていくと思います。

明後日他県へ

明後日進学のため他県へ行く方がいます。

今日は最後の授業でした。

別れ際に、「先生、ネットを介してこれからも教えてください」

と言われ、うれしかったです。

さあ、がんばって早々に準1とってしまいましょう!

 

編入で教養大学

今、国際教養大学に編入で入学したいという方に英語を教えています。

今の英検レベルは2級の中。

早く準1をとって自信をつけてもらいたいです。

一生懸命な方なので塾休みにも勉強をみています。

結果を出せるように頑張ってほしいです。

入試の結果から学んだこと

第一志望校に合格した生徒の比率が5割を切ってしまった、今年の入試結果を踏まえて、高校生への接し方を変えようと思っています。

いままで、高校生の時間は質疑応答の寺子屋式でしたが、これからはセンター試験の過去問(英数国)を解説しながら、半強制的に受験勉強が滞らないように監視しないとダメだなと思うようになりました。

ふだんの勉強でわからないところは、日曜日に中高いっしょの時間を作って、ここで質問させたり、ネット経由で質問させるようにしようと考えています。

 

平面図形と空間図形(中1)

直線AB、線分AB、半直線AB、AB//CD、∠ABC、垂線、AB⊥CD、中点、垂直二等分線、弧AB、弦、距離、角の二等分線の引き方、接点、接線、おうぎ形、中心角、~柱(同じ底面が2つ)、~錐(頂点が点)~には底面の形が入る、球、交線、ねじれの位置、母線、回転体、投影図、立面図(真横から見た図)、平面図(真上から見た図)、体積→底面積×高さ(柱)底面積×高さ÷3(錐)、表面積、側面積、底面積、おおぎ型の面積、球の体積と表面積

〇図形を、一定の方向に、一定の距離だけ動かす移動を平行移動という

〇平行移動では対応する点を結ぶ線分は平行で、その長さは等しい

〇図形を、ある点を中心として、一定の角度だけ回転させる移動を回転移動といい、中心とする点を回転の中心という

〇回転移動では、対応する点は回転の中心から等しい距離にあり、対応する点と回転の中心を結んでできる角の大きさはすべて等しい。

〇図形を180°だけ回転移動させることを点対象移動という(180°回転させて重なる図形を点対称な図形という)

〇図形を、ある直線を折目として折り返す移動を対象移動といい、折り目の直線を対象の軸という

〇対象移動では、対応する点を結ぶ線分は、対象の軸によって垂直に2等分される。

〇コンパスで書いた円の円周は、半径の長さで6等分できる

〇直線L上にない点Pを通りLに垂直な線を引くやり方2通り

〇おうぎ形の弧の長さと面積は、中心角に比例する。

$〇半径r、中心角a°、弧の長さl、面積S$

$\displaystyle l=2πr× \frac{ a }{ 360 }$

$\displaystyle S=πr^2× \frac{ a }{ 360 }$

〇正多面体

どの面もすべて合同な正多角形である

どの頂点にも面が同じ数だけ集まっている

正四面体(正三角形)、正六面体(正方形)、正八面体(正三角形)、正十二面体(正五角形)、正二十面体(正三角形)

すべての面が正三角形である六面体は正多角形ではない。理由は?

面の数-辺の数+頂点の数=2

〇平面Pと交わる直線Lが、その交点Oを通る二つの直線m,nに垂直であれば、直線Lは平面Pに垂直である

 

平行と合同、三角形と四角形(中2)

外角、内角、n角形の内角の和、n角形の外角の和、対頂角、同位角、錯角、証明、正多角形、合同、≡、角の二等分線の作図、証明、仮定、結論、AならばB、定義と定理(決まり、決まりから証明されたことがら)2つの辺が等しい三角形を二等辺三角形という(定義)二等辺三角形の底角は等しい(定理)、頂角、底辺、底角、逆(ある定理の仮定と結論を入れ替えたもの)、反例(あることがらが成り立たない例、反例は一つあげるだけでいい)、二等辺三角形の斜辺(直角に対する辺)、平行四辺形の対辺と対角、

1.平行線の性質

2直線に1つの直線が交わるとき

①2直線が平行ならば、同位角は等しい

②2直線が平行ならば、錯角は等しい

2.平行線になるための条件

2直線に1つの直線が交わるとき

①同位角が等しければ、その2直線は平行である

②錯角が等しければ、その2直線は平行である

3.三角形の内角、外角の性質

①三角形の内角の和は180°である。(一つの外角に平行線を引くと錯角と同位角が同じ)

②三角形の外角は、それと隣り合わない2つの内角の和に等しい。一つの外角に平行線を引くと錯角と同位角が同じ、180-(180-a-b)=180)

4.多角形の内角の和、外角の和

①n角形の内角の和は、180×(n-2)である。(4角形は三角形が2つ、5角形は3つ…..三角形の内角の和は180°)

②多角形の外角の和は360°である。(180n-(180n-360))

5、合同な図形の性質

合同な図形では、対応する線分や角は等しい

6.三角形の合同条件

①3組の辺がそれぞれ等しい

②2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい

③1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

7.二等辺三角形の底角

定理 二等辺三角形の底角は等しい

8.二等辺三角形の頂角の二等分線

定理 二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に2等分する。

定義 正三角形とは、3つの辺が等しい三角形のことである。

定理 正三角形の三つの角は等しい

定理 三角形の2つの角が等しければ、その三角形は、等しい二つの角を底角とする二等辺三角形である。

直角三角形の合同条件

定理

①斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい

②斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

平行四辺形の定義

平行四辺形とは、2組の対辺がそれぞれ平行な四角形のことである。

平行四辺形になるための条件

①2組の対辺がそれぞれ平行である(定義)

②2組の対辺がそれぞれ等しい

③2組の対角がそれぞれ等しい

④対角線がそれぞれの中点で交わる

⑤1組の対辺が平行でその長さが等しい

台形の定義

1組の対辺が平行である

平行四辺形の定義

2組の辺がそれぞれ平行である

長方形の定義

4つの角がすべて等しい

ひし形の定義

4つの辺がすべて等しい

正方形の定義4つの角と4つの辺がすべて等しい

〇一組の平行線の一方の2点から他の直線に引いた2つの垂線の長さは等しい

1組の平行線の一方の2点を底辺とする、他方に頂点を持つ三角形の面積は、頂点が平行線上にある限り、どこに頂点があっても等しい。

 

妖精の環論争 p1-2017-1

ナミビア(アフリカ西部)の妖精のサークルとは、直径15メートルに及ぶ地面が剥き出しになって斑点状に続いているものである。それは周囲を草に囲まれ、規則的なパターンを描いてナミビアの乾燥地帯を貫いている(→同じような形をしているものが続いている)。このミステリーサークルの源を説明する一つの仮説は白アリに焦点を絞る(→原因は白アリだとする)。これは、そのサークルの地下に住む昆虫である。生物学者のノーバート・ユーゲントは、そこには雨を吸収する植物が全く存在しないのでフェリーサークルの土に含まれる水分量が比較的高いことに気づいた。彼は白アリが植物の根を主食にすることで枯らしているのではないかと結論づけている。ユーゲントは言う。お前たちは知らないだろうが、白アリは、その地方の乾燥期を凌ぐ手助けとなる水分供給量を捻出する目的で周りの環境を変えているのだと。

2014年、フェリーサークルはオーストラリアの奥地にも見つかった。このサークルを調べた後で、生態学者のステファン・ゲッチンは昆虫を原因として排除した(→原因は昆虫ではないとした)。なぜならば、そんなに多くの白アリの巣はそこにはなかったからだ。また、数少ないながらもそこにある巣の配列と(the=これまでに規定概念と認められてきた)フェリーサークル特有の配列分布との関連性が認められなかったからだ。ゲッチンは言うーナムビアのフェリーサークルもオーストラリアのそれも、より深い根を持つより大きな植物が、隣接するより小さな植物から命の糧となる水分を奪い去ることで形成される。死んだ植物は後に不毛の斑点を残し、その斑点の周りに植物がサークルを形成するが、それは(サークルが)水分を効果的に分け合うことを可能にした自然(naturally)の結果なのだ(不定詞の結果用法:allowの主語はcircles)ーと。

ゲッチンは、ナムビアとオーストラリアのフェリーサークルが少しだけ違う形で周りの植物のためになっていると思っている。ナムビアのフェリーサークルの土には砂が多く、そんな砂土は雨水の浸透を可能にし、サークルの下に雨水が溜まることで(サークルは)そのすぐ外側の植物に栄養を与える(nourishの主語はthem=they=circles)。しかしながら、オーストラリア奥地の(フェリーサークルの=the)土はより土質が密であり、植物で覆われていないので太陽熱により固くなる。結果として、雨水は土の表面を通り抜けることができないので、サークルに隣接する区域に直接流れ出してしまう。この謎を解くにはもっとデーターが必要だが、ゲッチンの調査は、乾燥地帯での植物の水の争奪戦の結果としてフェリーサークルが形成されるとの見解を後押しするものであった(今もそうである)。

2015-3 pre1

 1800年代は見た、劇的な変化を、アメリカ経済における、経済が変化し始めたとき、農業から手工業商品の生産へと。たくさんの農家、田舎で食べるのに苦労していた、移動した、都市中心部へと、ニューヨークのような、そこで彼らはできた、定期的な収入を得る、そして生活首位準を改善する、工場での仕事を通して。工場はしかしながら、必要としていた、莫大な量の資源を、例えば、金属、石炭、木材というような。これらの資源は大概ずっと遠くの地域にあった、そして、鉄道が可能にしていた、資材を輸送する、町に、工場が位置する、が(=though)、会社は直面した、とてつもない困難さに、雇う、維持する、かなりの数の従業員を、工場に物資を供給するのに必要な。(間違えやすいところ→従業員を確保する困難ではなく、養う困難)
 この状況は、つながった、カンパニータウンの発展に、田舎に建設された、各々の一つの会社によって、それは労働者を雇う一人の雇用主でもあり、地域の建設、商店、公共施設のオーナでもあった。都市化は良い点を連れてきたが(=都市化には良い点もあったが)、都市部の下層階級は定職をほとんど確保できず、労働者はしばし、長いシフト・不安全な状態・低賃金の条件下で働いていた。彼らのアパートは狭く、汚く、子供の教育すらまともにできなかった。カンパニータウンはこの問題に取り組んだ、よりより収入、よく練られた地域共同体を提供した、快適な住まいと学校、娯楽が手に入る。それはびっくりすることではない、それゆえ、カンパニータウンがアメリカ中に広がったことは。
 当初、ハッピーな従業員はよく高い生産性と利益を意味した。(従業員が喜んで働いたので生産性と利益が上がったということ meanは、「意味する」から「引き出す・生み出す」に派生する)しかし、中にはこんな会社もあった、じきに思いつくようになる、従業員を利用する(搾取する)ことを。極端な離れ小島であること、カンパニータウンが、と、住居や商業を独占しているということ、会社に与えた、すごい影響力を、従業員にー会社の社長は市長のような役目を果たしていた(=存在であった)、例えば。高いサラリーが人を魅了し、カンパニータウンに引き付けた、しかし、従業員には選ぶ自由がなかった、以外は、物を買う、その会社の店で、そこでは、膨れ上がった値段がすぐに彼らを借金の中に置いた、雇用主への。閉じ込めた(暴騰した値段が)彼らを新しいコミュニティの中に。一人の石炭堀人夫は言った。(自分から)死ぬ余裕なんてない。俺の命は会社の店に握られている。
 労働者は時に、ストライキをやった、抗議してカンパニータウンの条件に、事例のように、6000人の労働者、仕事をボイコットしたプルマンの町で、イリノイ州の、1894年。しかし、いくつかの個々のコミュニティでは抗議運動によってビジネスが阻害されたが、ビジネスは続いた、いつも通り、大半のカンパニータウンでは、1920年代まで。町は衰退し始めなかった、までは、