カテゴリー: 高校数学

２次関数と１次関数の交点

二次方程式と一次方程式の連立方程式の解の和は$-\displaystyle \frac{xの係数}{x^2の係数}$で求めることができます。

$例えば、y=\displaystyle \frac{1} {3}x^2とy=x+6の連立方程式y=\displaystyle \frac{1} {3}x^2-x-6=0の場合、解の和は-\displaystyle \frac{-1}{ \displaystyle \frac{1} {3}}=3$です。

$y=\displaystyle \frac{1} {3}x^2と連立を組む一次式の傾きが変わらない場合①、切片の値が変わったとしても-\displaystyle \frac{xの係数}{x^2の係数}の値は変わりません。$

$そして、仮に①が原点を通るのであれば、和が３ですから交点のx座標は瞬時に３とわかります。$

詳しいことを知りたければ「解と係数の関係」で検索してください。

以下なぜか、説明します。

$y=ax^2$と$y=bx+c$の交点の$x$座標は$ax^2-bx-c=0$の解です。

$x=\displaystyle \frac{b±\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

$二つの解をたすとルートが消えて\displaystyle \frac{b}{a}$になります。

また、$y=ax^2$と$y=bx+d$の交点の$x$座標は$ax^2-bx-d=0$の解です。

$x=\displaystyle \frac{b±\sqrt{b^2-4ad} }{2a}$

$こちらも二つの解をたすと\displaystyle \frac{b}{a}になります。$

これらのことから一般的に「A+B=C+D」ということができます。

$なお、ax^2+bx+c=0の二つの解をα,βとすると次の等式が成り立ちます。$

$ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0$

解とは$x$の値ですから当然ですよね。

$で、a(x-α)(x-β)を展開するとa{x^2-(α+β)x+αβ}になりますから、$

$ax^2+bx+c=a{x^2-(α+β)x+αβ}=ax^2-a(α+β)x+aαβ=0です。$

すなわち恒等式の性質からxの係数について$b=-a(α+β)$が成り立ちますから、

$α+β=-\displaystyle \frac{b}{a}$が成り立ち、解の和は$-\displaystyle \frac{xの係数}{x^2の係数}$で求められることがわかります。

展開問題　$(x+y+z)(-x+y+z)-(x+y-z)(x-y+z)$

$-(x+y-z)(x-y+z)$の$-を+$に変え、$(x-y+z)$に$-1$をかけます。

カッコ内文字の順序を入れ替え、和と差の積(●+▲)(●-▲)の型に持ち込みます。

$=(y+z+x)(y+z-x)+(y-z+x)(y-z-x)$

$=(y+z)^2-x^2+(y-z)^2-x^2$

yzの項は消えてしまうので、２乗項だけが残ります。

$=-2x^2+2y^2+2z^2$

いろいろな展開問題　その２

①$(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)$

$=(a-1)(a-4)(a-2)(a-3)$

$=(a^2-5a+4)(a^2-5a+6)$

$=(a^2-5a)^2+10(a^2-5a)+24$

$=a^4-10a^3+25a^2+10a^2-50a+24$

$=a^4-10a^3+35a^2-50a+24$

指針　１次までの項が揃うように組み合わせを考えて展開後に(a+b)(a+c)型展開適用。

$②(w+x-y-z)(w-x-y+z)$

$=\lbrace (w-y)+(x-z)\rbrace \lbrace (w-y)-(x-z)\rbrace$

$=(w-y)^2-(x-z)^2$

$=w^2-2wy+y^2-(x^2-2xz+z^2)$

$=w^2-2wy+y^2-x^2+2xz-z^2$

$=w^2-x^2+y^2-z^2-2wy+2xz$

指針　(a+b)(a-b)型に導く

$③=(a^2+a+1)(2a^2+2a-3)$

$=2(a^2+a+1)(a^2+a-\displaystyle\frac{3}{2})$

$=2\lbrace(a^2+a)^2-\displaystyle\frac{1}{2}(a^2+a)-\displaystyle\frac{3}{2}\rbrace$

$=2a^4+4a^3+a^2-a-3$

指針　aについて一次までの項が揃うように工夫する。

または、

$=(a^2+a+1)\lbrace2(a^2+a)-3\rbrace$

$=2(a^2+a)^2+(-3+2\cdot1)(a^2+a)-3$

$=2a^4+4a^3+2a^2-a^2-a-3$

$=2a^4+4a^3+a^2-a-3$

いろいろな展開問題

$①(2x-3y-5z)^2$

$=(2x)^2+(-3y)^2+(-5y)^2+2(2x)(-3y)+2(-3y)(-5z)+2(2x)(-5z)$

$=4x^2+9y^2+25z^2-12xy+30yz-20zx$

ヒント　$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$型

$②(x-2y+3z)(x+2y-3z)$

$=\lbrace x-(2y-3z) \rbrace \lbrace x+(2y-3z) \rbrace$

$=x^2-(2y-3z)^2$

$=x^2-(4y^2-12yz+9z^2)$

$=x^2-4y^2+12yz-9z^2$

ヒント　$(a+b)(a-b)=a^2-b^2型$

$③(a^2+2a-1)(a^2+2a-3)$

$=(a^2+2a)^2-4(a^2+2a)+3$

$=a^4+4a^3+4a^2-4a^2-8a+3$

$=a^4+4a^3-8a+3$

ヒント　$(a+b)(a+c)=a^2+(b+c)a+bc$型

$④(x+2y)^2(x-2y)^2$

$=\lbrace (x+2y)(x-2y) \rbrace ^2$

$=(x^2-4y^2)^2$

$=x^4-8x^2y^2+16y^4$