カテゴリー: 中学数学

$\displaystyle\frac{12a^6b^2×2a^3b^5}{4a^2b^2}$を計算してもいいのですが筆算する手間がかかります。

頭の中で下のように計算できると筆算必要ありません。

$12÷4×2a^{6-2+3}b^{2-2+5}=6a^7b^5$

累乗の加減の結果が０になれば答えは１、マイナスになれば答えは累乗の逆数になります。

例えば、$a^0=1$、$a^{-2}=\displaystyle\frac{1}{a^2}$です。

２と３の最小公倍数６を掛けて６で割ります。

$\displaystyle6(\frac{4x-3y}{2}-\frac{x+2y}{3})÷6$

=$\displaystyle\frac{3(4x-3y)-2(x+2y)}{6}$

=$\displaystyle\frac{12x-9y-2x-4y)}{6}$

=$\displaystyle\frac{10x-13y}{6}$

例えば、5.6の整数部分は5、小数部分は0.6で、$5+0.6=5.6$です。

このように小数をともなう数は、整数部分と小数部分からできていて、その数＝整数部分＋小数部分が成り立ちます。

今$\sqrt{2}$は$\sqrt{1}=1$と$\sqrt{4}=2$の間にあるので整数部分は1ですから、$\sqrt{2}$の小数部分を$a$で表すならば、$\sqrt{2}=1+a$が成り立ちます。

ここで、$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$であり、aで表せば$\sqrt{32}=4(1+a)$です。

また、$\sqrt{32}$は$\sqrt{25}=5$と$\sqrt{36}=6$の間にあるので、整数部分は5です。

これらのことから、$\sqrt{32}=4(1+a)=5+(\sqrt{32}$の小数部分)が成り立ち、$\sqrt{32}$の小数部分は$4(1+a)-5=4a-1$ということになります。

（＋５）＋（＋２）、（＋５）＋（－２）、（＋５）－（＋２）、（＋５）－（－２）など、式の中にある＋や－の演算子の役割の話をします。

＋演算子は、その後に続くカッコ内の数に「符号の方向にあなたの数だけ進みなさい。」と命令します。

命令を聞いた（＋５）＋（＋２）の２は、プラスの方向に２進んで７に到着します。

また、（＋５）＋（－２）の２は、マイナスの方向に２進んで３に到着します。

一方、－演算子は、その後に続くカッコ内の数に「符号とは反対方向にあなたの数だけ進みなさい。」と命令します。

そこで、－演算子に命令された（＋５）－（＋２）の２は、プラスとは反対のマイナス方向に２進んで３に到着します。

また、同じく－演算子に命令された（＋５）－（－２）の２は、マイナスとは反対のプラス方向に２進んで７に到着します。

以上のことから次のことがわかります。

$+(+▲)=-(-▲), +(-●)=-(+●)$

$▲と●$は数を表します。

そして、このルールはどんな数にも適用できます。

割り算をするときには、割られる数に割る数の逆数をかけますが、それはなぜでしょう？

例えば、6÷２＝３ですが、

$\displaystyle ６×\frac{ 1 }{ 2 }$

$\displaystyle ＝\frac{ 6 }{ 1 }× \frac{ 1 }{ 2 }$

$\displaystyle ＝ \frac{ 6×1 }{ 1×2 }＝ \frac{ 6 }{ 2 }＝３と考えることもできます。$

÷2は2つに分けることです。

$中学数学では、２つに分けることを、$

$「\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }にする（\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }をかける）」と考えます。$

÷の記号は、真ん中の線の上に点が２つ上と下に乗っかっています。

上の点は割られる数、下の点は割る数を表しています。

$ですから、\displaystyle \frac{ 6 }{ 2 }は、$

6を2で割る、6を2つに分けることを表しています。

もう少し複雑な問題を考えてみます。

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }÷ \frac{ 11 }{ 3 }$

$答えは、上でお話ししたように、$

$「\displaystyle÷\frac{ 11 }{ 3 }」を逆数の「×\frac{ 3 }{ 11}」」にして、$

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }×\frac{ 3 }{ 11}$

$=\displaystyle \frac{ 5×3 }{ 7×11 }$

$=\displaystyle \frac{ 15 }{ 77}$

とすればいいのですが、

この問題を、数学的な言葉の定義ではなく、四則演算の観点から考えてみます。

$この答えをxとすると、$

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }÷ \frac{ 11 }{ 3 }=x$

$左右両辺に\displaystyle \frac{ 11 }{ 3 }をかけて、$

（＝の右と左に同じ数をかけても＝が成り立つ性質を利用します）

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }× \frac{ 11 }{ 3 }÷ \frac{ 11 }{ 3 }=x× \frac{ 11 }{ 3 }$

$右辺の\displaystyle \frac{ 11 }{ 3 }÷ \frac{ 11 }{ 3 }を計算すると、$

同じ数どうしの割り算なので１になり、

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }=x× \frac{ 11 }{ 3 }$

と、簡単にできます。

$両辺に \displaystyle \frac{ 11 }{ 3 }の逆数、\displaystyle  \frac{ 3 }{ 11 }をかけると、$

$\displaystyle \frac{ 5 }{ 7 }× \frac{ 3 }{ 11 }=x× \frac{ 11 }{ 3 }× \frac{ 3 }{ 11 }$

$\displaystyle \frac{ 5×3 }{ 7×11 }=x× \frac{ 11×3 }{ 3×11 }$

$\displaystyle \frac{ 15 }{77 }=x$

右辺と左辺を取り換えて、

$x=\displaystyle \frac{ 15 }{77 }$

以上のように、イコールの性質を利用した四則演算の観点からみても同じ結果になります。

実際に問題を解くときは、もちろん、割る数を逆数してかけると簡単だし、早く解けます。

分数のかけ算は、分子どうし、分母どうしのかけ算の結果が答えになります。

例えば、

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }  \times \frac{ 2 }{ 5 }$

$\displaystyle=\frac{ 1×2 }{ 3×5 } $

$\displaystyle=\frac{ 2 }{ 15 } $

でも、一体なぜ、分子と分母どうしをかけるだけでいいのでしょうか？

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }  \times \frac{ 2 }{ 5 } は、$

=$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }  \times \frac{ 1 }{ 5 }  \times 2$

に書き直すことができます。

$まず、\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }  \times \frac{ 1 }{ 5 }を考えてみます。$

分子と分母どうしをかけるだけでいいなら、答えは、

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }  \times \frac{ 1 }{ 5 }＝\frac{ 1 }{ 15 }$

になるはずです。

$\displaystyle  \frac{ 1 }{ 3 } に\displaystyle\frac{ 1 }{ 5 }をかけることは、$

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }を5等分するということですから、答えの\displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }$

$ を5回たしたら\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }にならなければいけませんよね。$

ほんとにそうなるか、検算してみましょう。

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }+\frac{ 1 }{ 15 }+\frac{ 1 }{ 15 }+\frac{ 1 }{ 15 }+\frac{ 1 }{ 15 }=\frac{ 1+1+1+1+1 }{ 15 }=\frac{ 5 }{ 15 }=\frac{ 1 }{ 3 }$

なりましたね。

$次に、この\displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }に２をかけるということは、$

$ \displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }が２つあることですから、$

$ \displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }+\frac{ 1 }{ 15 }＝\frac{ 2 }{ 15 }です。$

これも同じく、最初から、

$ ２は分数で\displaystyle \frac{ 2 }{ 1 }と表せますから、$

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 15 }×\frac{ 2 }{ 1 }＝\frac{ 1×2 }{ 15 ×1}＝\frac{ 2 }{ 15 }$

とできるんです。