2+3、式の数字各々に５を掛けると、
2×5+3×5
でも、いちいち×５を２回繰り返すの面倒なので、
5(2+3)
と表す約束事になっています。
５と(の間には×が省略されています。
これらの約束事をうろ覚えにしていると勉強が先に進まないのでしっかり覚えることです。
同じように、2+3の式の数字各々に7をかけるときは7(2+3)と表します。
5(2+3)と7(2+3)をたしたものは、
2+3の式の数字各々に5と7をそれぞれかけることになりますが、
2×5+2×7+3×5+3×7と書き出すのは面倒なので
(2+3)(5+7)と表すことになっています。
即ち、
(2+3)(5+7)=2×5+2×7+3×5+3×7です。
2+3=5、5+7=12ですから、実際は5×12を計算すればいいのですが、
(a+b)(c+d)を計算するときはこの方法が生きてきます。
これを式を「展開する」といいます。
$\displaystyle\frac{(a-1)(a-2)}{3}-\frac{(a-1)(a-2)+5}{4}$
計算を通分で行うと計算が終わるまで分母を表示しないとならないので別の方法を紹介します。
まず、３と４の最小公倍数12を各項にかけます。
$4(a-1)(a-2)-3\lbrace(a-1)(a-2)+5\rbrace$
$=4(a-1)(a-2)-3(a-1)(a-2)-15$
$4(a-1)(a-2)-3(a-1)(a-2)$は同類項ですから、
$=(a-1)(a-2)-15$
展開して、
$=a^2-3a+2-15$
$=a^2-3a-13$
最初に12をかけたので、最後に12で割って答えにします。
$\displaystyle\frac{a^2-3a-13}{12}$
かっこどおしの掛け算を先に済ませてから２乗します。
先の二つのかっこの積を片付けて、
$=\lbrace(a^2-1)(a^2+1)\rbrace^2$
３番目のかっことの積を計算します。
$=(a^4-1)^2$
最後に展開します。
$=a^8-2a^4+1$
$-(x+y-z)(x-y+z)$の$-を+$に変え、$(x-y+z)$に$-1$をかけます。
カッコ内文字の順序を入れ替え、和と差の積(●+▲)(●-▲)の型に持ち込みます。
$=(y+z+x)(y+z-x)+(y-z+x)(y-z-x)$
$=(y+z)^2-x^2+(y-z)^2-x^2$
yzの項は消えてしまうので、２乗項だけが残ります。
$=-2x^2+2y^2+2z^2$
$(a^2+a+1+\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2})(a^2-2a+3-\displaystyle\frac{4}{a}+\frac{5}{a^2})$を展開したときの$a$の係数を求めなさい。
降べきの順に並んでいることを確認し、掛けてxについての同類項になる項の和だけを計算します。
$a^2\cdot(-\displaystyle\frac{4}{a})+a\cdot3+1\cdot(-2a)+\displaystyle\frac{1}{a}\cdot a^2$
$=-4a+3a-2a+x=-2a$
即ち、答えは$-2$
=(98.7-26.3)(98.7+26.3)
=72.4×125
ここで、125×8=1000、125×4=500に気づければ、
72.4=8×9+0.4ですから、
72.4×125
=125(8×9+0.4)
=125×8×9+125×0.4
=1000×9+50.0
=9050
$ax^2+bx+c=0$
$a(x^2+\displaystyle\frac{b}{a}x)+c=0$
$a(x+\displaystyle\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c=0$
$a(x+\displaystyle\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a}$
両辺を$a$で割り、
$(x+\displaystyle\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
両辺の平方根をとり、
$(x+\displaystyle\frac{b}{2a})=±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x=-\displaystyle\frac{b}{2a}±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x=\displaystyle\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
(1,2)と(5,6)を通る直線は、
傾きは$\displaystyle\frac{5-1}{6-2}=1$
$x=1$のとき$y=2$ですから$y=(x-1)+2$
また、$x=5$のとき$y=6$ですから、$y=(x-5)+6$とも表すことができます。
$x$と$y$に値を代入して等式が成り立つような形に無理くりしてしまう…そんな感覚です。
そして、これらどちらも$y=x+1$になります。
一般に、
$(a,b)$と$(c,d)$を通る直線の式は、$y=\displaystyle\frac{d-b}{c-a}(x-a)+b$または$y=\displaystyle\frac{b-d}{a-c}(x-c)+d$と表すことができます。
また、$y=\displaystyle\frac{d-b}{c-a}x+A-①$とおき、$(a,b)$を代入すると、
$A=-\displaystyle\frac{d-b}{c-a}a+b$ですから、
①は$y=\displaystyle\frac{d-b}{c-a}x-\displaystyle\frac{d-b}{c-a}a+b$
すなわち、$y=\displaystyle\frac{d-b}{c-a}(x-a)+b$となります。
$y=ax^2$でxの値がbからcに変化したときの変化の割合は
$a(b+c)$と表すことができます。
それはなぜかを説明します。
変化の割合は$\displaystyle\frac{yの増加量}{xの増加量}$ですから、
上のケースの場合は、$\displaystyle\frac{ac^2-ab^2}{c-b}$です。
$\displaystyle\frac{ac^2-ab^2}{c-b}$
分母をaで括って、
$\displaystyle\frac{a(c^2-b^2)}{c-b}$
$c^2-b^2$を因数分解して、
$=\displaystyle\frac{a(c-b)(c+b)}{c-b}$
約分して、
$=a(c+b)$
数字が大きくなった時など、原理原則に立ち返りいちいちオーソドッククスに計算していたんでは余計に時間がかかったり、計算間違いにもなりかねません。
覚えおくといいと思います。
yの値域を求めることは、yの最小値と最大値を求めて最小値≦y≦最大値と表示することです。
$y=x^2$は上に凸の放物線ですから、$x=0$でyは最小値0、$x=3$でyは最大値9をとります。
したがって答えは0≦y≦9です。
$-2≦x≦3$の表示につられてかどうかはわかりませんが、4≦y≦9としていまう生徒さんが多いので気をつけましょう。